¿La estabilidad asintótica implica la existencia de una función de Lyapunov para un sistema no lineal?

Para un sistema lineal invariante en el tiempo$\dot x = Ax,$el teorema de Lyapunov inverso afirma que si el origen es asintóticamente estable, entonces una función de Lyapunov en la forma$V(x) = x^\top P x$para alguna función definida positiva$P.$

¿Hay un resultado similar para los sistemas no lineales? Es decir, para un sistema dinámico no lineal en la forma$\dot x = f(x)$tal que el origen$x=0$es globalmente asintóticamente estable, ¿está garantizada la existencia de una función de Lyapunov? (Por supuesto, incluso si la función de Lyapunov existe, puede ser muy difícil de encontrar). Si la existencia de una función de Lyapunov no está garantizada, ¿hay algún contraejemplo conocido?