Estabilidad global vs Estabilidad asintótica global

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Estabilidad global vs Estabilidad asintótica global

Matemáticas
sistemas-dinamicos
estabilidad-en-odas
funciones de lyapunov
ecuaciones diferenciales ordinarias

rocío del mar

Después de tratar de entender esto durante un tiempo vergonzosamente largo, creo que necesito ayuda... Definimos la estabilidad local (lyapunov) y la estabilidad asintótica de la siguiente manera:

un equilibrio $y^*$ de $\dot{y} = f(y)$ se llama

estable, si para cada $\varepsilon$ -vecindario $B_\varepsilon (y^*)$ existe un $\delta$ -vecindario $B_\delta(y^*)$ tal que
$y_{0} \in B_{d} (y^{*}) ⟹ y (t) \in B_{ε} (y^{*}) \forall t \geq t_{0}$ $y_0 \in B_\delta(y^*) \implies y(t) \in B_\varepsilon (y^*) \forall t\geq t_0$
asintóticamente estable, si $y^*$ es estable y existe un $\mu$ -vecindario $B_{\mu} (y^*)$ tal que
$y_{0} \in B_{m} (y^{*}) ⟹ \underset{t \to \infty}{límite} y (t, y_{0}) = y^{*}$ $y_0 \in B_{\mu} (y^*) \implies \lim_{t \to \infty} y(t, y_0) = y^*$

Ok, hasta aquí ambas definiciones tienen mucho sentido para mí. Ahora aquí viene mi problema: más adelante en la conferencia definimos "estabilidad global" simplemente con la siguiente oración:

"Se dice que un equilibrio es globalmente estable, si es estable para (casi) todas las condiciones iniciales, no solo para algunas que están cerca del equilibrio $y^*$ ."

No introducimos la estabilidad asintótica global en absoluto. Pero esta definición de estabilidad global, ¿no implica $\lim_{t\to\infty} y(t, y_0) = y^*$ para todos $y_0$ ? También usamos esto para probar la estabilidad global una vez. Pero, ¿no sería esta la definición de estabilidad asintótica global? ¿Cuál es la diferencia entre los dos? Continuamos con las funciones de Lyapunov y mencionamos allí que bajo ciertas condiciones obtienes estabilidad global mientras que si además $\dot V =0$ obtienes estabilidad asintótica global.

Este curso no se trata realmente de análisis de estabilidad, por lo que no profundizamos en absoluto ni proporcionamos ninguna prueba, pero realmente me gustaría entender la diferencia entre la estabilidad global y la estabilidad asintótica global. Leí todo en Google y no encontré nada, así que probablemente no vea algo extremadamente trivial. ¡Cualquier ayuda es apreciada!

Respuestas (2)

Estabilidad global vs Estabilidad asintótica global

miguel · Answer 1

"Global" y "asintótico" son atributos diferentes. Tenga en cuenta que un equilibrio estable puede no ser un atractor. Por ejemplo, las soluciones de:

X^{'} = - y y^{'} = X

$x'=-y \\ y'=x$ son los circulos

x^{2} + y^{2} = r_{0}^{2}

$x^2+y^2=r_0^2$ por lo que el origen es estable porque las trayectorias permanecen dentro de una vecindad acotada tan pequeña como se desee (dependiendo de la inicial

r_{0}

$r_0$ ), pero no tienden al origen.

Dado que este sistema es lineal, la estabilidad es global, lo que significa que no hay trayectorias ilimitadas incluso si comenzamos lejos del origen. En cambio, para el sistema unidimensional:

y^{'} = y (1 - y)

$y'=y(1-y)$ La linealización muestra que el equilibrio

y^{*} = 1

$y^*=1$ es estable y, de hecho, asintóticamente estable. Sin embargo, esta propiedad no es global, por ejemplo, la solución con condición inicial

y_{0} = 0

$y_0=0$ es la trayectoria constante

y (t) \equiv 0

$y(t)\equiv 0$ entonces

y (t) \notin B_{\frac{1}{2}} (1)

$y(t)\notin B_{\frac{1}{2}}(1)$ .

amanecer · Answer 2

Tengo la misma confusión sobre Globalmente estable y Globalmente asintóticamente estable. Creo que esto se debe a que Globalmente estable no tiene una definición estrictamente matemática clara, mientras que la estabilidad global asintótica sí la tiene. (Busqué en todo Internet y no puedo encontrar la definición exacta de estabilidad global. Estaré muy agradecido si alguien puede proporcionarla)

Voy a dar mi comprensión de Globalmente estable y Globalmente asintóticamente estable.

Globalmente estable: una trayectoria con un punto inicial arbitrario en el dominio permanecerá a una distancia fija del punto de equilibrio. Formalmente, $y_{eq}$ es la estabilidad global si para cualquier trayectoria $y(t)$ con un punto inicial $y_0$ , siempre existe un $\epsilon >0$ , tal que $y (t) \in B_{ϵ} (y_{mi q}) \forall t \geq 0$ $y(t) \in B_\epsilon(y_{eq}) \quad \forall t\geq0$
Globalmente asintóticamente estable: una trayectoria con un punto inicial arbitrario en el dominio irá adicionalmente hacia el punto de equilibrio. Formalmente, $y_{eq}$ es globalmente estable si para cualquier trayectoria $y(t)$ con un punto inicial $y_0$ , satisface $\underset{t \to \infty}{límite} y (t) = y_{mi q}$ $\lim_{t \to \infty} y(t) = y_{eq}$

Hay una imagen que dibujé para ayudar a ilustrar la diferencia entre no globalmente estable, globalmente estable y globalmente asintóticamente estable.

Nuevamente, esto es solo mi entendimiento, y no puedo garantizar que sea 100% correcto, pero me parece perfecto para todos mis casos. Cualquier comentario o sugerencia teniendo en cuenta este post es bienvenido.

Referencia:

Estabilidad global vs Estabilidad asintótica global

rocío del mar

Respuestas (2)

miguel

amanecer

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¿La estabilidad global de Lyapunov implica un equilibrio único?

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