Ecuación de movimiento a través del Lagrangiano con multiplicadores de Lagrange

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Ecuación de movimiento a través del Lagrangiano con multiplicadores de Lagrange

Matemáticas
dinámica no lineal
cálculo numérico
multiplicador de lagrange
ecuación de euler-lagrange
ecuaciones diferenciales ordinarias

dtn

Pido consejo, porque estoy un poco confundido.

Tenemos tal lagrangiano:

$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\lambda(x+xy+y-1)$

Aquí $\lambda(x+xy+y-1)$ es la restricción sobre las variables de fase.

Necesito derivar la ecuación de movimiento dadas las restricciones y resolverlas numéricamente con la ayuda de NDSolve.

Hacemos esto de acuerdo con la fórmula clásica:

$\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{q}})-\frac{dL}{dq}=0$

Dónde $q=[x,y]$ son coordenadas generalizadas. No estoy seguro sobre el multiplicador de Lagrange como una coordenada generalizada.

Clear["Derivative"]

ClearAll["Global`*"]

T = 1/2 m (x'[t]^2 + y'[t]^2);(*Kinetic Energy*)

f = \[Lambda] (x[t] + x[t] y[t] +y[t] - 1);(*Constraint*)

L = T - f;(*Lagrangian*)

D[D[L, x'[t]], t] - D[L, x[t]];

D[D[L, y'[t]], t] - D[L, y[t]];

D[D[L, \[Lambda]'[t]], t] - D[L, \[Lambda][t]];

Pregunta: ¿cómo se incluyen los multiplicadores de Lagrange en este sistema al compilar el sistema ODE y resolverlo numéricamente?

¿Quizás esta ayuda?

https://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/node90.html

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0045782588900850

ian

Estás tratando de moverte a lo largo de la curva

x + x y + y = 1

$x+xy+y=1$ , ¿entonces? Si es así, su función no especifica cómo debería evolucionar la velocidad. Alternativamente, ¿podría entender esto como que hay una energía potencial que penaliza su distancia desde allí? Si es lo último, entonces realmente no tienes un multiplicador de Lagrange, solo tienes un coeficiente de intensidad para la energía potencial.

dtn

@lan Sí, y necesito comprender el principio de obtener un sistema de ecuaciones diferenciales (es decir, obtener un sistema de ecuaciones de movimiento) para diferentes tipos de restricciones y resolverlo numéricamente.

ian

Bueno, no creo que esa restricción te diga cómo procederá la evolución, si permaneces en la curva todo el tiempo. Necesita alguna otra fuente de fuerza, de lo contrario, el sistema simplemente se sentará en un punto de la curva para siempre.

dtn

@lan No capté claramente el mensaje de su comentario, pero en cuanto a las velocidades, las velocidades iniciales (es decir, los valores de las primeras derivadas en el momento inicial del tiempo) se pueden establecer mediante una solución numérica.

ian

No creo que pueda simplemente poner el sistema en movimiento y someterlo a la restricción y luego simplemente hacer que "decida" cómo permanecer en la curva sin un campo de fuerza, pero podría estar equivocado, esta no es mi área. de experiencia

dtn

@lan Entonces, consideremos su segunda oración, sobre la limitación que actúa como energía potencial repulsiva. Entonces, ¿cómo cambiará la ecuación diferencial original?

ian

Bueno, entonces regresas esencialmente a la dinámica lagrangiana ordinaria, no hay un "multiplicador de Lagrange", solo hay una energía potencial que te empuja hacia la curva deseada.

dtn

@lan Ayúdame a reescribir la ecuación original. Este es un enfoque poco convencional para resolver el problema y puede ser útil para otros usuarios. Puedes ponerlo en forma de respuesta, te lo agradeceré.

Respuestas (2)

Ecuación de movimiento a través del Lagrangiano con multiplicadores de Lagrange

Estás tratando de moverte a lo largo de la curva $x+xy+y=1$ , ¿entonces? Si es así, su función no especifica cómo debería evolucionar la velocidad. Alternativamente, ¿podría entender esto como que hay una energía potencial que penaliza su distancia desde allí? Si es lo último, entonces realmente no tienes un multiplicador de Lagrange, solo tienes un coeficiente de intensidad para la energía potencial.
@lan Sí, y necesito comprender el principio de obtener un sistema de ecuaciones diferenciales (es decir, obtener un sistema de ecuaciones de movimiento) para diferentes tipos de restricciones y resolverlo numéricamente.
Bueno, no creo que esa restricción te diga cómo procederá la evolución, si permaneces en la curva todo el tiempo. Necesita alguna otra fuente de fuerza, de lo contrario, el sistema simplemente se sentará en un punto de la curva para siempre.
@lan No capté claramente el mensaje de su comentario, pero en cuanto a las velocidades, las velocidades iniciales (es decir, los valores de las primeras derivadas en el momento inicial del tiempo) se pueden establecer mediante una solución numérica.
No creo que pueda simplemente poner el sistema en movimiento y someterlo a la restricción y luego simplemente hacer que "decida" cómo permanecer en la curva sin un campo de fuerza, pero podría estar equivocado, esta no es mi área. de experiencia
@lan Entonces, consideremos su segunda oración, sobre la limitación que actúa como energía potencial repulsiva. Entonces, ¿cómo cambiará la ecuación diferencial original?
Bueno, entonces regresas esencialmente a la dinámica lagrangiana ordinaria, no hay un "multiplicador de Lagrange", solo hay una energía potencial que te empuja hacia la curva deseada.
@lan Ayúdame a reescribir la ecuación original. Este es un enfoque poco convencional para resolver el problema y puede ser útil para otros usuarios. Puedes ponerlo en forma de respuesta, te lo agradeceré.

ian · Answer 1

Si el lagrangiano subyacente es solo energía cinética (es decir, no hay energía potencial en el sistema) y necesita permanecer en la curva $F=0$ , entonces las ecuaciones de Newton para la dinámica lagrangiana restringida se vuelven simplemente $m\ddot{x}-\lambda(t) F_x=0,m\ddot{y}-\lambda(t) F_y=0$ , entonces la fuerza apunta paralela a $\nabla F$ pero con un coeficiente que depende del tiempo, y el requisito de que la restricción se cumpla todo el tiempo determina la evolución de $\lambda$ . Para que estas ecuaciones sean consistentes, la velocidad inicial deberá ser tangente a la curva, pero en este caso puedes resolver las dos ecuaciones diferenciales junto con la ecuación algebraica para describir la evolución.

Tenga en cuenta que esta dinámica lagrangiana restringida corresponde físicamente a "componer la fuerza correcta que lo mantiene en la curva especificada" (por lo que es un poco menos mágico de lo que parece a primera vista). Para un ejemplo clásico, puedes pensar en moverte en el círculo. $x^2+y^2=r^2$ a partir de $(r,0)$ con velocidad inicial $(0,v)$ . A partir de esto se puede recuperar lo familiar $\mathbf{a}=-\frac{v^2}{r} \mathbf{e}_r$ .

Una vista quizás más física de una situación como esta en ausencia de cualquier energía potencial significativa es simplemente tomar una función estrictamente convexa $G$ minimizado en cero (por ejemplo $G(x)=x^2$ ). y ejecuta la evolución con $m(\ddot{x},\ddot{y})^T=-\nabla G(F(x,y))$ .

Gracias por su respuesta. Veo que la cuestión no es tan sencilla como parece y hay varios matices. 1. ¿Qué cambiará si se agrega energía potencial al sistema? 2. Y cómo hacer que el Lagrangiano evolucione correctamente, es decir, elegir un cambio en el $\lambda$ ¿coeficiente?
@dtn 1. Puede seguir su primer enlace para ver cómo se introduce otro término si hay otra fuerza como la gravedad en el sistema. Este término toma el habitual $\frac{\partial L}{\partial q}$ forma. 2. Desde el punto de vista matemático, esto se llama ecuación algebraica diferencial (DAE)... cómo se manejan numéricamente depende mucho del problema real al que te enfrentas. Yo tampoco soy un experto en esto.
Consulte mathematica.stackexchange.com/questions/256885/… tal vez sea útil en el futuro

lutz lehmann · Answer 2

Este es un sistema DAE de índice 2 o 3. Se obtiene un sistema ODE sumando derivadas de la ecuación, principalmente la restricción, al sistema.

X + X y + y = 1, \dot{X} (1 + y) + \dot{y} (1 + X) = 0, \ddot{X} (1 + y) + \ddot{y} (1 + X) + 2 \dot{X} \dot{y} = 0

$x+xy+y=1,\\ \dot x(1+y)+\dot y(1+x)=0,\\ \ddot x(1+y)+\ddot y(1+x)+2\dot x\dot y=0$ De la última ecuación, elimine las segundas derivadas para obtener una ecuación para el multiplicador de Lagrange. Con otra derivada (por lo tanto, el índice 3) obtienes una EDO para el multiplicador.

metro \ddot{X} = - λ (1 + y) metro \ddot{y} = - λ (1 + y) ⟹ - λ [(1 + X)^{2} + (1 + y)^{2}] + 2 metro \dot{X} \dot{y} = 0 λ = \frac{2 metro \dot{X} \dot{y}}{(1 + X)^{2} + (1 + y)^{2}}

$m\ddot x=-λ(1+y)\\ m\ddot y=-λ(1+y)\\ \implies -λ[(1+x)^2+(1+y)^2]+2m\dot x\dot y=0\\ λ=\frac{2m\dot x\dot y}{(1+x)^2+(1+y)^2}$

¡Gracias por su respuesta! Consulte mathematica.stackexchange.com/questions/256885/… tal vez sea útil en el futuro
Agregué el resultado que uno debería obtener para $λ$ . Esto es suficiente para obtener las ecuaciones de movimiento en $x,y,\dot x,\dot y$ solo. Para la derivada de $λ$ aplicar la regla del cociente para obtener una expresión racional más complicada.
Este enfoque no funcionó. Intenté tanto eso como el sugerido aquí. La solución numérica de los sistemas de ecuaciones obtenidos muestra que la dinámica del multiplicador lagrangiano no cumple con las restricciones indicadas. Consulte mathematica.stackexchange.com/questions/256885/… Parece que programé todo correctamente. No veo el error todavía.
Tus condiciones iniciales allí no satisfacen la ecuación de restricción. $\frac12+\frac14·\frac12+\frac14=\frac78$ , y la integración numérica debería permanecer aproximadamente en esta constante para $x+xy+y$ .
Sí, ya he corregido este error. Y el principio ahora está más o menos completamente claro para mí, al parecer.

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