¿La estabilidad global de Lyapunov implica un equilibrio único?

Question

¿La estabilidad global de Lyapunov implica un equilibrio único?

definición
Matemáticas
teoría de la estabilidad
sistemas-dinamicos
estabilidad-en-odas
ecuaciones diferenciales ordinarias

Fraissé

Recuerde que dado un sistema dinámico invariante en el tiempo

\dot{X} = F (X)

$\dot x = f(x)$

Decimos que un punto de equilibrio en el origen, $x_e \in \mathbb{R}^n$ , del sistema anterior es estable (en el sentido de Lyapunov) si:

\forall ϵ > 0, \exists d > 0, calle ‖ X (t_{0}) - X_{mi} ‖ < d ⟹ ‖ X (t) - X_{mi} ‖ < ϵ, \forall t \geq t_{0}

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ s.t. } \|x(t_0) - x_e\| < \delta \implies \|x(t) - x_e\|< \epsilon, \forall t \geq t_0$

Suponga que la condición anterior se cumple para todos $x_0 = x(t_0) \in \mathbb{R}^n$ , entonces podemos decir que el punto de equilibrio es globalmente estable.

Suponer que $x_e$ es globalmente estable, entonces es el único equilibrio de $\dot x = f(x)$ ?

Tenga en cuenta que la estabilidad asintótica global implica unicidad porque cada trayectoria tiene que converger en ese punto.

Sergio Enrique Yarza Acuña

No hay

x_{0}

$x_0$ en la condición, ¿qué quiere decir cuando dice que se cumple para todos

x_{0} \in R^{n}

$x_0\in\mathbb{R}^n$ ?

Respuestas (1)

¿La estabilidad global de Lyapunov implica un equilibrio único?

No hay $x_0$ en la condición, ¿qué quiere decir cuando dice que se cumple para todos $x_0\in\mathbb{R}^n$ ?

usuario357151 · Answer 1

Considerar $\dot x =0$ : todo punto es un equilibrio globalmente estable.

Para un ejemplo menos ridículo, $\dot x = (-x_1, 0)$ tiene una línea de equilibrios globalmente estables.

¿Qué sucede si el conjunto de equilibrios no es conexo? ¿Implica esto singularidad?

¿La estabilidad global de Lyapunov implica un equilibrio único?

Fraissé

Sergio Enrique Yarza Acuña

Respuestas (1)

usuario357151

Bilal Yafar Karaki

Función energética del péndulo

Requisito de estabilidad de Lyapunov en estabilidad asintótica

Inestabilidad de un sistema variable de parámetros cuyos parámetros pertenecen a un conjunto compacto

Definición de estabilidad de Lyapunov

Usando la definición de δδ\delta-εε\varepsilon para probar la estabilidad del sistema autónomo

Estabilidad global vs Estabilidad asintótica global

Función de Lyapunov para sistema no lineal

Una ecuación de Euler-Lagrange

Bonitos corolarios del teorema de Poincaré-Bendixson

Aplicación del teorema de Poincaré-Bendixson