Inestabilidad de un sistema variable de parámetros cuyos parámetros pertenecen a un conjunto compacto

Question

Inestabilidad de un sistema variable de parámetros cuyos parámetros pertenecen a un conjunto compacto

Matemáticas
teoría del control
teoría de la estabilidad
estabilidad-en-odas
dinámica no lineal
ecuaciones diferenciales ordinarias

GSecer

Supongamos que hay un sistema

\dot{X} = F (t, γ_{pag} (t), X)

$\dot{x}=f(t, \gamma_p(t), x)$ con

x \in R^{2}

$x\in\mathbb{R}^2$ . Para mi caso específico, vector de parámetros

γ_{p}

$\gamma_p$ es una función monótona escalar y conocida con un conjunto de imágenes compacto (por ejemplo

γ_{p} (t) = e^{- t}

$\gamma_p(t) = e^{-t}$ , de este modo

γ_{p} \in [1, 0)

$\gamma_p \in [1,0)$ ).

Me gustaría mostrar la inestabilidad de este sistema. Las técnicas bien conocidas (específicamente, promediar) son aplicables para mostrar la inestabilidad del sistema para todos los valores de parámetros congelados, es decir, un sistema simplificado. $\tilde{f}$ con

\dot{X} = F^{⋆} (t, X) = F (t, γ_{pag} (t^{⋆}), X) \forall t^{⋆} \in [0, \infty) .

$\dot{x}=f^\star(t, x) = f(t, \gamma_p(t^\star), x) \quad \forall \; t^\star \in [0, \infty).$

¿Puede la inestabilidad de todos los casos de parámetros congelados permitirme concluir algo sobre la inestabilidad del sistema original?

Detalles de mi problema

$f$ toma la forma

F (t, γ_{pag} (t), X) = ε [\begin{matrix} \frac{α (1 - γ_{pag} (t))}{γ_{pag} (t)} \\ 1 \end{matrix}] L (t, X_{2}, (X_{1} - α X_{2}) γ_{pag} (t) + α X_{2})

$f(t,\gamma_p(t),x) = \varepsilon \begin{bmatrix}\tfrac{\alpha(1-\gamma_p(t))}{\gamma_p(t)} \\ 1\end{bmatrix} L\left(t, x_2, (x_1-\alpha x_2)\gamma_p(t)+\alpha x_2\right)$ dónde

ε > 0

$\varepsilon > 0$ es un pequeño parámetro del sistema,

α

$\alpha$ es un coeficiente positivo y

L

$L$ es un

2 π

$2\pi$ función periódica solo sobre el primer argumento

t

$t$ (por lo tanto, no necesariamente periódico cuando

γ_{p}

$\gamma_p$ está cambiando) con

s i gramo norte [\int_{0}^{2 π} L (t, X_{2}, \underset{y (t^{⋆})}{\underset{⏟}{(X_{1} - α X_{2}) γ_{pag} (t^{⋆}) + α X_{2}}}) d t] = s i gramo norte [y (t^{⋆})] \forall t^{⋆} \in [0, \infty) .

$\mathrm{sign}\left[\int_{0}^{2\pi}L(t, x_2, \underbrace{(x_1-\alpha x_2)\gamma_p(t^\star)+\alpha x_2}_{y(t^\star)})\mathrm{d}t\right] = \mathrm{sign}\left[y(t^\star)\right]\quad \forall \; t^\star \in [0,\infty).$

Sustituyendo $\gamma_p(t^\star)$ da el sistema de parámetros congelados

F^{⋆} (t, X) = ε [\begin{matrix} \frac{α (1 - γ_{pag} (t^{⋆}))}{γ_{pag} (t^{⋆})} \\ 1 \end{matrix}] L (t, X_{2}, (X_{1} - α X_{2}) γ_{pag} (t^{⋆}) + α X_{2})

$f^\star(t,x) = \varepsilon \begin{bmatrix}\tfrac{\alpha(1-\gamma_p(t^\star))}{\gamma_p(t^\star)} \\ 1\end{bmatrix} L\left(t, x_2, (x_1-\alpha x_2)\gamma_p(t^\star)+\alpha x_2\right)$ Con

γ_{p} (t^{⋆})

$\gamma_p(t^\star)$ ahora fijo, la dinámica se vuelve periódica con el período

2 π

$2\pi$ lo que me permite aplicar el promedio. Específicamente, podemos determinar la estabilidad/inestabilidad a través del sistema promediado

\dot{X} \approx {\tilde{F}}^{⋆} (X) = ε [\begin{matrix} \frac{α (1 - γ_{pag} (t^{⋆}))}{γ_{pag} (t^{⋆})} \\ 1 \end{matrix}] \int_{0}^{2 π} L (t, X_{2}, (X_{1} - α X_{2}) γ_{pag} (t^{⋆}) + α X_{2}) d t

$\dot{x}\approx\tilde{f}^\star(x) = \varepsilon \begin{bmatrix}\tfrac{\alpha(1-\gamma_p(t^\star))}{\gamma_p(t^\star)} \\ 1\end{bmatrix}\int_{0}^{2\pi}L(t, x_2, (x_1-\alpha x_2)\gamma_p(t^\star)+\alpha x_2)\mathrm{d}t$

Usando más detalles del sistema, puedo mostrar que el sistema crece ilimitadamente en la dirección $[\gamma_p(t^\star), (1-\gamma_p(t^\star)]$ en el espacio ocupado por $(x_1,x_2)$ .

KBS

¿Puede dar más detalles sobre la trayectoria del parámetro y el sistema en sí? No hay una respuesta general a su pregunta.

lutz lehmann

¿Cómo define la inestabilidad? ¿Significa que el retrato de fase completa solo tiene un punto de equilibrio inestable, o restringe el espacio de fase y solo considera el equilibrio en el dominio restringido, o significa que cada solución diverge para

t \to + \infty

$t\to+\infty$ , o ...? Por ejemplo, ¿podría la fuerza del péndulo invertido

\ddot{x} - \sin (x) = F (c)

$\ddot x-\sin(x)=F(c)$ ,

x \approx 0

$x\approx 0$ , ser un ejemplo?

GSecer

Actualicé mi pregunta y agregué detalles sobre la estructura de mi problema.

GSecer

Hubo algunos errores tipográficos. actualizado de nuevo. Perdón por la confusion.

Respuestas (1)

Inestabilidad de un sistema variable de parámetros cuyos parámetros pertenecen a un conjunto compacto

¿Puede dar más detalles sobre la trayectoria del parámetro y el sistema en sí? No hay una respuesta general a su pregunta.
¿Cómo define la inestabilidad? ¿Significa que el retrato de fase completa solo tiene un punto de equilibrio inestable, o restringe el espacio de fase y solo considera el equilibrio en el dominio restringido, o significa que cada solución diverge para $t\to+\infty$ , o ...? Por ejemplo, ¿podría la fuerza del péndulo invertido $\ddot x-\sin(x)=F(c)$ , $x\approx 0$ , ser un ejemplo?
Actualicé mi pregunta y agregué detalles sobre la estructura de mi problema.
Hubo algunos errores tipográficos. actualizado de nuevo. Perdón por la confusion.

FeedbackLooper · Answer 1

No creo que sea el caso en general (quiero decir sin aprovechar alguna estructura particular de su problema).

Solo mirando la pregunta "¿Puede la inestabilidad de todos los casos de parámetros congelados permitirme concluir algo sobre la inestabilidad del sistema original?" la respuesta es: no siempre.

Por ejemplo, considere este sistema:

\dot{X} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ γ_{1} (t) & γ_{2} (t) \end{matrix}] X

$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 &1\\ \gamma_1(t) & \gamma_2(t) \end{bmatrix}x$ dónde

γ_{1}, γ_{2}

$\gamma_1,\gamma_2$ son funciones periódicas con periodo 2, y cumplen

γ_{1} (t) = - 1, γ_{2} (t) = 0.01

$\gamma_1(t)=-1, \gamma_2(t)=0.01$ para

0 \leq t \leq 1

$0\leq t\leq 1$ y

γ_{1} (t) = 0.01, γ_{2} (t) = - 1

$\gamma_1(t)=0.01, \gamma_2(t)=-1$ . Por lo tanto, este sistema cambia entre

\dot{X} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0.01 \end{matrix}] X, t \in [0, 1)

$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 &1\\ -1 & 0.01 \end{bmatrix}x, \ t\in[0,1)$ y

\dot{X} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0.01 & - 1 \end{matrix}] X, t \in [1, 2)

$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 &1\\ 0.01 & -1 \end{bmatrix}x, \ t\in[1,2)$ y así sucesivamente, periódicamente.

Tenga en cuenta que en cada caso, al analizar los parámetros congelados, las matrices $A_1=\begin{bmatrix} 0 &1\\ -1 & 0.01 \end{bmatrix}$ y $A_2=\begin{bmatrix} 0 &1\\ 0.01 & -1 \end{bmatrix}$ no son Hurwitz, por lo que cada sistema es inestable por sí solo.

A pesar de esto, el sistema de conmutación es asintóticamente estable. Mira lo que sucede en los instantes de conmutación. por ejemplo, en $t=1$ :

X (1) = Exp (A_{1}) X (0)

$x(1) = \exp(A_1)x(0)$ y en

t = 2

$t=2$ :

X (2) = Exp (A_{2}) X (1) = Exp (A_{2}) Exp (A_{1}) X (0)

$x(2) = \exp(A_2)x(1) = \exp(A_2)\exp(A_1)x(0)$ y así sucesivamente, de modo que podemos mirar cada dos saltos para obtener:

X (k + 2) = Exp (A_{2}) Exp (A_{1}) X (k) = \tilde{A} X (k)

$x(k+2)=\exp(A_2)\exp(A_1)x(k) = \tilde{A}x(k)$ para

k

$k$ incluso. Curiosamente, la matriz

\tilde{A} = \exp (A_{2}) \exp (A_{1})

$\tilde{A}=\exp(A_2)\exp(A_1)$ tiene valores propios en el lado del disco unitario, a saber

0.1067 + 0.6002 i, 0.1067 - 0.6002 i

$0.1067 + 0.6002i, 0.1067 - 0.6002i$ . Por lo tanto, la secuencia

x (0), x (2), x (4), \dots

$x(0),x(2),x(4),\dots$ convergen al origen asintóticamente. Algo similar le sucede a

x (1), x (3), x (5), \dots

$x(1),x(3),x(5),\dots$ y no es dificil ver eso

x (t)

$x(t)$ en los intervalos entre convergen al origen también. La razón es que el comportamiento inestable de

A_{1}

$A_1$ es corregido por

A_{2}

$A_2$ y viceversa. A través de un argumento promedio, también puede ver que el promedio de los dos sistemas es estable.

En resumen, en general, no podrá concluir la inestabilidad del sistema de parámetros variables observando los sistemas de parámetros congelados. Sin embargo, puede aprovechar alguna estructura particular de su configuración, a saber, que $\gamma(t)$ es escalar o monótono. Por lo tanto, sin más contexto/detalles es difícil saberlo.

Muchas gracias. Yo lo veo. Tiene mucho sentido. Actualicé mi pregunta y agregué más detalles sobre la estructura del problema.
Hubo algunos errores tipográficos. actualizado de nuevo. Perdón por la confusion.

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