Derivada de una función de Lyapunov para un sistema no lineal

Question

Derivada de una función de Lyapunov para un sistema no lineal

Matemáticas
teoría de la estabilidad
estabilidad-en-odas
funciones de lyapunov
cálculo multivariable

castagnegenge

Dejar
$\begin{aligned} {\begin{cases} {\dot{X}}_{1} = - {(2 X_{1} - X_{2})}^{3} + (X_{1} - X_{2}) \\ {\dot{X}}_{2} = - {(2 X_{1} - X_{2})}^{3} + 2 (X_{1} - X_{2}) \end{cases} \end{aligned}$ $\begin{aligned}\begin{cases}\dot{x}_{1}=-\left( 2x_{1}-x_{2}\right)^3+\left( x_{1}-x_{2}\right) \\ \dot{x}_{2}= -\left( 2x_{1}-x_{2}\right) ^{3}+2\left( x_{1}-x_{2}\right)\end{cases}\\ \end{aligned}$ Dado $V (X) = X^{T} PAG X PAG = [\begin{matrix} 5 & - 3 \\ - 3 & 2 \end{matrix}]$ $V\left( \mathbb{x}\right) =\mathbb{x}^{T}P\mathbb{x} \qquad P=\begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ Respuesta: $\dot V\left( x_{1},x_{2}\right) =-2\left[ \left( 2x_{1}-x_{2}\right) ^{4}+\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2}\right]$

Mi intento:

Podemos escribir $V(\mathbb{x})$ como

\begin{aligned} V (X_{1}, X_{2}) & = 5 X_{1}^{2} - 6 X_{1} X_{2} + 2 X_{2}^{2} \\ = {(2 X_{1} - X_{2})}^{2} + {(X_{1} - X_{2})}^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned}V\left( x_1,x_2\right) &=5x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}\\ &=\left( 2x_{1}-x_{2}\right) ^{2}+\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2}\end{aligned}$

y definiendo el cambio de variables $z_{1}=2x_{1}-x_{2}$ y $z_{2}=x_{1}-x_{2}$ obtenemos

V (z_{1}, z_{2}) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2}

$V(z_1,z_2)=z_1^2+z_2^2$ y

{\begin{cases} {\dot{z}}_{1} = - z_{1}^{3} + z_{2} \\ {\dot{z}}_{2} = - z_{1}^{3} + 2 z_{2} \end{cases}

$\begin{cases}\dot{z}_{1}=-z_{1}^{3}+z_{2}\\ \dot{z}_{2}=-z_{1}^{3}+2z_{2}\end{cases}$

Ahora podemos calcular $\dot V(z_1,z_2)$ como

\begin{aligned} \dot{V} (z_{1}, z_{2}) & = \frac{\partial V}{\partial z_{1}} (z_{1}, z_{2}) {\dot{z}}_{1} + \frac{\partial V}{\partial z_{2}} {\dot{z}}_{2} \\ = 2 z_{1} (- z_{1}^{3} + z_{2}) + 2 z_{2} (- z_{1}^{3} + 2 z_{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned}\dot V\left( z_{1},z_{2}\right) &=\dfrac{\partial V}{\partial z_{1}}\left( z_{1},z_{2}\right) \dot{z}_{1}+\dfrac{\partial V}{\partial z_{2}}\dot{z}_{2}\\ &=2z_{1}\left( -z_{1}^{3}+z_{2}\right) +2z_{2}\left( -z_{1}^{3}+2z_{2}\right) \end{aligned}$

Respuestas (2)

Derivada de una función de Lyapunov para un sistema no lineal

AVK · Answer 1

Esto es incorrecto:

{\begin{cases} {\dot{z}}_{1} = - z_{1}^{3} + z_{2} \\ {\dot{z}}_{2} = - z_{1}^{3} + 2 z_{2} \end{cases}

$\begin{cases}\dot{z}_{1}=-z_{1}^{3}+z_{2}\\ \dot{z}_{2}=-z_{1}^{3}+2z_{2}\end{cases}$ Debería ser así:

{\dot{z}}_{1} = 2 {\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{2} = 2 (- {(2 X_{1} - X_{2})}^{3} + (X_{1} - X_{2})) - (- {(2 X_{1} - X_{2})}^{3} + 2 (X_{1} - X_{2}))

$\dot z_1= 2\dot x_{1}-\dot x_{2}= 2(-\left( 2x_{1}-x_{2}\right)^3+\left( x_{1}-x_{2}\right)) -(-\left( 2x_{1}-x_{2}\right) ^{3}+2\left( x_{1}-x_{2}\right))$

= 2 (- z_{1}^{3} + z_{2}) + z_{1}^{3} - 2 z_{2} = - z_{1}^{3}

$=2(-z_1^3+z_2)+z_1^3-2z_2= -z_1^3$

{\dot{z}}_{2} = {\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{2} = - {(2 X_{1} - X_{2})}^{3} + (X_{1} - X_{2}) - (- {(2 X_{1} - X_{2})}^{3} + 2 (X_{1} - X_{2}))

$\dot z_2= \dot x_1-\dot x_2= -\left( 2x_{1}-x_{2}\right)^3+\left( x_{1}-x_{2}\right) -(-\left( 2x_{1}-x_{2}\right) ^{3}+2\left( x_{1}-x_{2}\right))$

= - z_{1}^{3} + z_{2} + z_{1}^{3} - 2 z_{2} = - z_{2}

$=-z_1^3+z_2+z_1^3-2z_2= -z_2$

gdcvdqpl · Answer 2

Además de la respuesta de AVK, solo quería señalar cómo para este tipo de problema generalmente puede encontrar $\dot{V}(x)$ aprovechando la simetría de $P$ . Esto a veces ahorra mucho trabajo ocupado:

Primero, observe que $V(x)$ se puede escribir como un producto escalar:

V (X) = ⟨ X, PAG X ⟩

$V(x)=\langle x,Px\rangle$ Por eso:

\begin{aligned} \dot{V} (X) & = ⟨ \dot{X}, PAG X ⟩ + ⟨ X, PAG \dot{X} ⟩ \\ = ⟨ {PAG}^{T} \dot{X}, X ⟩ + ⟨ X, PAG \dot{X} ⟩ \\ = ⟨ X, {PAG}^{T} \dot{X} ⟩ + ⟨ X, PAG \dot{X} ⟩ \end{aligned}

$\begin{aligned}\dot{V}(x)&=\langle \dot{x},Px\rangle +\langle x,P\dot{x}\rangle \\&= \langle P^T\dot{x},x\rangle +\langle x,P\dot{x}\rangle \\&= \langle x,P^T\dot{x}\rangle +\langle x,P\dot{x}\rangle\end{aligned}$ y gracias a

P = P^{T}

$P=P^T$ obtenemos:

\dot{V} (X) = 2 ⟨ X, PAG \dot{X} ⟩ = 2 X^{T} PAG \dot{X}

$\dot{V}(x)=2\langle x,P\dot{x}\rangle = 2x^TP\dot{x}$

Para demostrar esta técnica en su caso, usando $A=-(2x_1-x_2)^3$ y $B=(x_1-x_2)$ como abreviaturas, obtenemos:

\begin{aligned} \dot{V} (X) & = 2 X^{T} (\begin{array}{cc} 5 & - 3 \\ - 3 & 2 \end{array}) (\begin{matrix} A + B \\ A + 2 B \end{matrix}) \\ = 2 X^{T} (\begin{matrix} 2 A - B \\ - A + B \end{matrix}) \\ = 2 (X_{1} (2 A - B) - X_{2} (A - B)) \\ = 2 ((2 X_{1} - X_{2}) A - (X_{1} - X_{2}) B) \\ = - 2 ({(2 X_{1} - X_{2})}^{4} + {(X_{1} - X_{2})}^{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned}\dot{V}(x)&=2x^T\left(\begin{array}{cc}5 & -3\\ -3 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A+B \\ A+2B\end{array}\right) \\ &=2x^T\left(\begin{array}{c}2A-B\\ -A+B\end{array}\right)\\&=2\left(x_1(2A-B)-x_2(A-B)\right) \\ &=2\left((2x_1-x_2)A-(x_1-x_2)B\right) \\&= -2\left( \left( 2x_{1}-x_{2}\right) ^{4}+\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2}\right)\end{aligned}$

Acabo de encontrar el cálculo de $\dot{V}(x)$ para ser más sencillo de esta manera en general!

Derivada de una función de Lyapunov para un sistema no lineal

castagnegenge

Respuestas (2)

AVK

gdcvdqpl

Función de Lyapunov para sistema no lineal

Función energética del péndulo

¿La estabilidad global de Lyapunov implica un equilibrio único?

Inestabilidad de un sistema variable de parámetros cuyos parámetros pertenecen a un conjunto compacto

¿La estabilidad asintótica implica la existencia de una función de Lyapunov para un sistema no lineal?

Requisito de estabilidad de Lyapunov en estabilidad asintótica

Estabilidad global vs Estabilidad asintótica global

cuál es el límite de lim(x,y)→(0,0)sin(2x+2y)−2x−2yx2+y2√lim(x,y)→(0,0)sin⁡(2x+2y)−2x −2yx2+y2\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(2x+2y)-2x-2y}{\root\of {{x^2+y^2} }}

¿Cuál es exactamente la relación y cuáles son las diferencias entre los límites multivariables y los límites complejos?

¿Cuál es la motivación para las formas diferenciales?