Función de Lyapunov para sistema no lineal

¿Qué función de Lyapunov debo elegir para mostrar la estabilidad (o inestabilidad) de los puntos de equilibrio? Con k > 0 , k > 0 , d > 0 . El sistema es Hurwitz (asintóticamente estable) cuando k > k . Función de Lyapunov cuadrática estándar

V ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = k ( X 1 − X 2 ) 2 2 + X 3 2 2 + X 4 2 2 − k ( X 1 − X 2 ) 2 2
No funciona. sistema linealizado
{ X ˙ 1 = X 3 , X ˙ 2 = X 4 , X ˙ 3 = − k ( X 1 − X 2 ) − k X 2 , X ˙ 4 = k ( X 1 − X 2 ) − d X 4 ,
da
A = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 − k k − k 0 0 k − k 0 − d ) .
Por los teoremas inversos de Lyapunov sé que existe una matriz definida positiva simétrica única PAG como solución a la ecuación de Lyapunov con q = I :
PAG A + A T PAG = − q
Intenté resolverlo simbólicamente a través de Matlab, pero lo logré. También he tratado de diferenciar la función de Lyapunov sin conocer la forma explícita de PAG pero el resultado de V ˙ = X T PAG X da el sistema de 16 ecuaciones que no pude resolver tan bien.

Respuestas (1)

Con la ayuda de MATHEMATICA.

A = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 − k − k − k 0 0 k − k 0 − d )

y el comando

P = LyapunovSolve[A, Transpose[A], -IdentityMatrix[4]]

obtenemos

PAG = [ − d 2 ( 3 k k + k ( 3 k + 2 ) + k 2 + k ) + k ( k + k ) ( 2 k + k + 1 ) 2 d k ( k + k ) ( 2 k + k ) − d 2 k + d 2 k + k 4 d k 2 + 2 d k k − 1 2 − k + 1 2 ( k + k ) − d 2 k + d 2 k + k 4 d k 2 + 2 d k k d 2 ( k + k ) + k ( 2 k + k + 1 ) 2 d ( k + k ) ( 2 k + k ) k + 1 2 ( k + k ) − 1 2 − 1 2 k + 1 2 ( k + k ) − d 2 ( 2 k 2 + 2 k k + k + k 2 ) k + k + ( k + 1 ) k 2 d k k 2 d − k + 1 2 ( k + k ) − 1 2 k 2 d k k + k 2 d k + 2 d k ]

Función de Lyapunov para sistema no lineal
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v