ejemplo de estabilidad de la dinámica interna del sistema no lineal

Esta pregunta se genera a partir del Ejemplo 6.3 en Slotine y Li "Control no lineal aplicado", Prentice Hall, 1991

Un sistema no lineal

$$\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{x_2}^3+u\\u\end{bmatrix}$$ $$y=x_1$$ como el objetivo de control para hacer$y$pista$y_d$, y el error de seguimiento es$e=y-y_d$.

Es,$\dot{y}=\dot{x_1}$y eligiendo la ley de control

$$u=-{x_2}^3-e+\dot{y_d}$$ da $$\dot{e}+e=0$$ que es estable y convergente a cero a medida que el tiempo$t\rightarrow\infty$(o en otras palabras, la ecuación de error tiene un polo en -1).

La misma entrada de control$u$se aplica también a la segunda ecuación del sistema no lineal, que representa la dinámica interna. con la elección de$u$como anteriormente,$\dot{x_2}=u$rendimientos

$$\dot{x_2}+{x_2}^3=\dot{y_d}-e.$$

Con la elección de un acotado$\dot{y_d}$y$e$(limitado desde$\dot{e}+e=0$), entonces es

$$|\dot{y_d}-e|\leq D,$$ ser$D$una constante positiva.

A partir de ahora, comienza mi pregunta, ya que me gustaría saber cuáles son los pasos matemáticos para derivar la siguiente conclusión :

el ejemplo concluye que$|x_2|\leq D^{1/3}$(es decir$x_2$¡también está acotado!), ya que$\dot{x_2}<0$cuando$x_2>D^{1/3}$, y$\dot{x_2}>0$cuando$x_2<D^{1/3}$. ¿Alguien puede explicar cómo derivar estas desigualdades?

El ejemplo demuestra que la ley de control elegida para$u$, es decir$u=-{x_2}^3-e+\dot{y_d}$-elegido de la ecuación del primer estado- no causa el segundo estado$x_2$volverse ilimitado.