Probar un sistema no lineal de derivadas no es asintóticamente estable al origen

Estoy tratando de probar que un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales no es asintóticamente estable al origen.

El problema general es un péndulo invertido en un carro que se puede controlar con una entrada u y usa las variables$\theta, \dot{\theta}, \ddot{\theta}, y, \dot{y}, \ddot{y}$.

Convertí el problema en State Space a través de

$X = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\theta\\ \dot{\theta} \\ y \\ \dot{y} \end{bmatrix}$

El espacio de estados se convierte en

$\dot{X} = f(X) + g(X)*u$

la salida es$y = x_3$

Estoy tratando de probar que el sistema es o no es una fase mínima.

Estoy atascado tratando de mostrar que

$\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\ \dot{\theta}\\ \ddot{\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\ x_2 \\ \frac{mgL\sin(x_1)}{(J+mL^2)} \end{bmatrix}$

no es asintóticamente estable al origen. Generalmente, si el sistema es lineal, puedo mirar la parte real de los valores propios de la matriz A para determinar la estabilidad. Para probar un sistema no lineal asintóticamente estable al origen, puedo usar una función de Lyapunov para mostrar la estabilidad asintótica.

No estoy seguro de cómo probar que este sistema reducido no es asintóticamente estable. Por inspección, el sistema no es asintóticamente estable al origen (siendo el origen$\theta = 0 =>$péndulo invertido hacia arriba. El sistema no contiene amortiguamiento y oscilaría eternamente si las condiciones iniciales no fueran el origen.

¿Sería suficiente decir que porque$(\theta,\dot{\theta}) = (\pi,0)$es una solución

el sistema no es asintóticamente estable al origen?