¿La energía es siempre discreta?

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¿La energía es siempre discreta?

cielo de intensidad

En los axiomas de von Neumann para la mecánica cuántica, el primer postulado establece que un estado cuántico es un vector en un espacio de Hilbert separable. Significa que se supone que el espacio de Hilbert tiene una base con, como mucho, infinitos elementos contables (cardinalidad). En otras palabras, establece que la energía de un sistema arbitrario es discreta. ¿Es siempre cierto? Si no, ¿puede dar un ejemplo específico en la naturaleza de que sus energías propias son incontables?

usuario83548

Esto podría ayudar: physics.stackexchange.com/q/65457

curioso

El espectro de operadores lineales contiene conjuntos discretos y continuos, por lo que los valores propios de la energía pueden ser discretos y continuos (consulte el espectro del hidrógeno). Una vez que acopla estos sistemas a los campos de vacío, todos los espectros, incluso los espectros lineales, se vuelven continuos.

usuario83548

@CuriousOne que en realidad es un juego de manos

curioso

@brucesmitherson: En absoluto. Uno es un resultado importante de la teoría del operador lineal, el otro es la realidad física: no hay ni puede haber sistemas con Q infinito.

usuario83548

Estoy hablando de mecánica cuántica "clásica" aquí, es posible que no haya entendido bien su comentario, pero si es así, será demasiado críptico para el OP

curioso

@brucesmitherson: Incluso en la mecánica cuántica no relativista, el estado atómico se acopla al campo electromagnético y, debido a la tercera ley de la termodinámica, ese campo tiene una temperatura finita. No se puede escapar del ancho de línea finito de las transiciones atómicas en ninguna de las teorías y ciertamente no en la fenomenología real.

usuario83548

@CuriousOne mira, tu comentario fue demasiado críptico, lo extrañé por completo. ¿Creo entonces que estamos de acuerdo en que un espectro continuo no es físico?

usuario83548

o bebí demasiado en xsmass

curioso

@brucesmitherson: Es al revés: no hay espectros discretos. Sin embargo, esa es una buena aproximación para transiciones que tienen un ancho de línea muy estrecho. Como con cualquier otra cosa en física, usted elige la aproximación que sea apropiada para la precisión de sus medidas. Si su espectrógrafo tiene baja resolución, verá espectros de líneas, con alta resolución verá líneas continuas. En algunos casos, el ancho de la línea es tan pequeño que se convierte en la referencia para todas las demás medidas de tiempo/frecuencia, que son los sistemas que usamos en los relojes atómicos. Esos relojes todavía tienen resonadores Q finitos.

usuario83548

@CuriousOne Entonces bebí demasiado, lo comprobaré mañana :)

cielo de intensidad

@CuriousOne sí. El espectro de operadores lineales puede ser continuo. ¿Puedes dar un ejemplo específico en la "naturaleza" que su energía sea continua?

curioso

La energía de la partícula libre es continua, al igual que el espectro de cualquier átomo, molécula, etc. más allá de la energía de ionización. Los electrones en los metales ocupan un espectro esencialmente continuo, etc.

usuario83548

@CuriousOne ¡Hoy veo más claramente! buen punto, no lo he pensado de esa manera, sin embargo, parece estar en contra de cualquier otra respuesta (ver enlace anterior). Tal vez debería publicarlo como una respuesta para que pueda ser votado o comentado por una audiencia más amplia.

Respuestas (1)

¿La energía es siempre discreta?

El espectro de operadores lineales contiene conjuntos discretos y continuos, por lo que los valores propios de la energía pueden ser discretos y continuos (consulte el espectro del hidrógeno). Una vez que acopla estos sistemas a los campos de vacío, todos los espectros, incluso los espectros lineales, se vuelven continuos.
@brucesmitherson: En absoluto. Uno es un resultado importante de la teoría del operador lineal, el otro es la realidad física: no hay ni puede haber sistemas con Q infinito.
Estoy hablando de mecánica cuántica "clásica" aquí, es posible que no haya entendido bien su comentario, pero si es así, será demasiado críptico para el OP
@brucesmitherson: Incluso en la mecánica cuántica no relativista, el estado atómico se acopla al campo electromagnético y, debido a la tercera ley de la termodinámica, ese campo tiene una temperatura finita. No se puede escapar del ancho de línea finito de las transiciones atómicas en ninguna de las teorías y ciertamente no en la fenomenología real.
@CuriousOne mira, tu comentario fue demasiado críptico, lo extrañé por completo. ¿Creo entonces que estamos de acuerdo en que un espectro continuo no es físico?
@brucesmitherson: Es al revés: no hay espectros discretos. Sin embargo, esa es una buena aproximación para transiciones que tienen un ancho de línea muy estrecho. Como con cualquier otra cosa en física, usted elige la aproximación que sea apropiada para la precisión de sus medidas. Si su espectrógrafo tiene baja resolución, verá espectros de líneas, con alta resolución verá líneas continuas. En algunos casos, el ancho de la línea es tan pequeño que se convierte en la referencia para todas las demás medidas de tiempo/frecuencia, que son los sistemas que usamos en los relojes atómicos. Esos relojes todavía tienen resonadores Q finitos.
@CuriousOne Entonces bebí demasiado, lo comprobaré mañana :)
@CuriousOne sí. El espectro de operadores lineales puede ser continuo. ¿Puedes dar un ejemplo específico en la "naturaleza" que su energía sea continua?
La energía de la partícula libre es continua, al igual que el espectro de cualquier átomo, molécula, etc. más allá de la energía de ionización. Los electrones en los metales ocupan un espectro esencialmente continuo, etc.
@CuriousOne ¡Hoy veo más claramente! buen punto, no lo he pensado de esa manera, sin embargo, parece estar en contra de cualquier otra respuesta (ver enlace anterior). Tal vez debería publicarlo como una respuesta para que pueda ser votado o comentado por una audiencia más amplia.

una mente curiosa · Answer 1

Un contraejemplo es tan simple que resulta trivial:

La partícula libre tiene un espectro de energía completamente continuo, ya que el hamiltoniano $H = \frac{p^2}{2m}$ tiene $[0,\infty)$ como su espectro (esto se sigue directamente de $p$ que tiene un espectro completamente continuo $(-\infty,\infty)$ . La razón por la que esto no viola el teorema espectral/la contabilidad de la base del espacio de Hilbert es que esto $H$ es un operador ilimitado, y los "estados propios" $\lvert p \rangle$ (que son $\psi_p(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}px}$ en la representación de la función de onda de posición) no están dentro del espacio de Hilbert (solo tenga en cuenta que $\psi_p(x)$ no es integrable en cuadrado en $\mathbb{R}$ para ver que no está en el espacio canónico de las funciones de onda de posición $L^2(\mathbb{R},\mathrm{d}x)$ ). Solo paquetes de ondas , es decir, superposiciones integrables en cuadrado de las ondas planas $\psi_p(x)$ , se encuentran dentro del espacio de estados de Hilbert.

De hecho, los "estados propios" pertenecientes a valores propios continuos nunca son "normalizables", cf. esta pregunta física , y por lo tanto nunca son vectores en el espacio de Hilbert real, sino solo en el espacio más grande del llamado espacio de Hilbert amañado , cf. esta pregunta física

Otro contraejemplo sería el átomo de hidrógeno, donde las energías por encima de un determinado umbral son continuas y, de nuevo, son esencialmente estados libres.

Gracias por tu clara respuesta. No entendí tu último contraejemplo. Las energías de los átomos de hidrógeno son discretas, ¿no es así?
@KNO: Las energías de estado ligado son discretas. Pero hay un continuo de estados libres (o de "dispersión") (o más bien valores propios, ya que las cosas asociadas no son, estrictamente hablando, estados más probados) por encima de la "energía de ionización", consulte esta pregunta de Phys.SE para una introducción y más . referencias

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una mente curiosa

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Espectros discretos vs continuos de operadores [duplicado]

hamiltonianos, operadores de creación/aniquilación, recursividad

En mecánica cuántica, ¿por qué es ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} en lugar de ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

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Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?