Espectros discretos vs continuos de operadores [duplicado]

Considere un operador$A$en un espacio de Hilbert$\cal H$, decir$L^2(\mathbb R)$para tratar con QM de una partícula en un eje real sin espín. Dejar$D(A) \subset \cal H$ser el dominio de$A$.

El espectro$\sigma(A)\subset \mathbb C$de$A$se define como la unión de los siguientes tres subconjuntos disjuntos por pares$\sigma_p(A)$,$\sigma_c(A)$,$\sigma_r(A)$. El primero es el que llamáis espectro discreto , pero su nombre es espectro puntual (el espectro discreto es un caso especial de él).

espectro de puntos ,$\sigma_p(A)$. Está hecho de los números complejos.$\lambda$tal que$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$no es inyectable.

En consecuencia, por definición si$\lambda \in \sigma_p(A)$debe haber$\psi \in \cal H$tal que$A\psi = \lambda \psi$.

espectro continuo ,$\sigma_c(A)$. Está hecho de los números complejos.$\lambda$tal que$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$es inyectable,$(A-\lambda I)^{-1} : Ran(A) \to D(A)$no está delimitado y$Ran(A-\lambda I)$es denso en$\cal H$.

En consecuencia, por definición, si$\lambda \in \sigma_c(A)$, no hay $\psi \in \cal H$con$A\psi = \lambda \psi$.

espectro residual ,$\sigma_r(A)$. Está hecho de los números complejos.$\lambda$tal que$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$es inyectable,$(A-\lambda I)^{-1} : Ran(A) \to D(A)$está delimitado y$Ran(A-\lambda I)$no es denso en$\cal H$.

Este último componente del espectro siempre está vacío para los operadores normales (generalmente ilimitados). En particular, los operadores autoadjuntos y unitarios no tienen espectro residual. Esta es la razón por la que el espectro residual no aparece en QM salvo casos excepcionales.

Si$\lambda \in \sigma_c(A)$, para cada$\epsilon >0$, hay$\psi_\epsilon \cal H$con$||\psi_\epsilon||=1$y

$$||A\psi_\epsilon - \lambda \psi_\epsilon|| < \epsilon$$ En otras palabras, hay una clase de vectores propios aproximados , aunque no existe un vector propio propio para$\lambda \in \sigma_c(A)$.

Bajo otras hipótesis adecuadas sobre el espacio de Hilbert (espacio de Hilbert amañado) el conjunto de$\psi_\epsilon$admite un límite fuera del espacio de Hilbert. las distribuciones$\delta(x-x_0)$son ejemplos típicos de esta situación al referirse al operador de posición$X$en$L^2(\mathbb R)$, desde$\sigma(X)=\sigma_c(X)= \mathbb R$.