¿Deben los operadores acotados tener funciones propias normalizables y valores propios discretos?

No hay una regla general. Sin embargo, existe una clase de operadores autoadjuntos acotados cuyo espectro está formado por un conjunto acotado de puntos aislados (valores propios propios), excepto por$0$a lo sumo, y los espacios propios asociados a estos valores propios son de dimensión finita. Son los llamados operadores compactos (esta clase incluye clases de operadores importantes en QM, como Hilbert-Schmidt y los de clase de rastreo ). Sin embargo, hay operadores que no son compactos pero tienen un espectro puntual puro. Un ejemplo es el hamiltoniano del oscilador armónico, cuyos espacios propios también son de dimensión finita pero no están acotados. La razón por la que el espectro tiene las mismas características que el de los operadores compactos es que las potencias inversas de estos operadores o de los operadores resolventes asociados son acotadas y compactas.

Por el contrario, un ejemplo de un operador acotado con espectro continuo puro es el operador de posición en$L^2([0,1], dx)$definido como de costumbre

NOTA . Con respecto a su último punto agregado (una conexión entre la normalización de las funciones propias y la discreción de los valores propios), la situación es la siguiente.

Si$\lambda\in \sigma(A)$es un punto aislado del espectro ($\sigma(A)$) del operador autoadjunto$A$. Después$\lambda$es un valor propio propio y, por lo tanto, sus vectores propios son vectores propios propios (normalizables). Entonces, como usted supone, en la jerga de los físicos, los "valores propios discretos" son valores propios propios con vectores propios normalizables.

Sin embargo, lo contrario es generalmente falso . Puedes tener puntos$\lambda$en una parte continua de$\sigma(A)$(decir,$\lambda \in (a,b)$con$(a,b) \in \sigma(A)$) que son valores propios propios. Incluso, en un espacio de Hilbert no separable, es posible construir un operador autoadjunto$A$tal que$\sigma(A)=[0,1]$y todos los puntos de$[0,1]$son valores propios propios con vectores propios propios . En un espacio de Hilbert separable no es posible, pero se puede construir fácilmente un operador cuyo conjunto de valores propios propios sea denso en$[0,1]$.

Preliminares : si "limitas" tu descripción de la mecánica cuántica a$L_2$Espacios de Hilbert, todas sus bases serán discretas, tanto acotadas como no acotadas. Puede tener espacios de Hilbert de cualquier cardinalidad, pero el de la mecánica cuántica "estándar" es$L_2$, el espacio de funciones cuadradas integrables, que tiene una cardinalidad contable,$\aleph_0$. En este caso, incluso las soluciones ilimitadas, como la partícula libre en una caja de longitud$l$, dónde$l$puede ser tan grande como quieras, será contable.

Es posible que no le guste la partícula libre en una caja por varias razones y que desee eliminar la caja y hacer que el espacio sea infinito. Ahora ya no se puede aplicar la mecánica cuántica espacial de Hilbert, porque las soluciones no pertenecen a$l_2$.

Para arreglar esto usamos el delta de dirac (una función generalizada, o distribución, que no pertenece a$L_2$). Inicialmente fue un truco manual que funciona bien en la práctica pero no es matemáticamente riguroso. Hoy esto se ha formalizado en lo que se llama espacios de Hilbert amañados , que pueden incluir distribuciones y, por lo tanto, un número infinito continuo de dimensiones de cardinalidad.$\aleph_1$). Los espacios de Hilbert amañados normalmente no se tocan en las introducciones a la mecánica cuántica, solo la introducción descuidada del delta dirac se realiza de manera informal.

Respuesta: Después de todos los preliminares, la respuesta es corta. Las soluciones continuas aparecen en espacios de Hilbert amañados tanto para estados acotados como no acotados. Un conjunto de soluciones acotadas continuas aparece en la física del estado sólido. En el límite de un número infinito de átomos, las bandas de energía para aislantes, metales y todo lo demás se vuelven continuas (como resultado de la "fusión" del número contable de niveles de energía discretos que se fusionan en una banda continua).