¿La divergencia de velocidad cero para el flujo incompresible se deriva de la ecuación de conservación de la energía o de la ecuación de conservación de la masa?

Estoy un poco confundido acerca de la definición de flujo incompresible. En muchos libros de texto o artículos científicos, simplemente afirman que la condición de incompresibilidad para la ecuación de Navier-Stokes es:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Pero nadie dice explícitamente cómo probar que el campo de velocidad incompresible debe estar libre de divergencia. Aquí están mis hallazgos para derivar esta ecuación de los fundamentos básicos de la física:

Para fluido incompresible: de la ecuación de estado de la termodinámica, sabemos que la densidad solo depende de los potenciales de equilibrio de presión y temperatura:

$\rho = \rho(P,T)$

Si tomamos la derivada material de esta ecuación:

$\frac{D \rho}{D t} = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} \frac{D P}{D t} + (\frac{\partial \rho}{\partial T})_{P} \frac{D T}{D t}$

Para un fluido isotérmico e incompresible:

Fluido incompresible:$(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} = 0$

Fluido isotérmico:$\frac{D T}{D t} = 0$

Entonces, finalmente, estas condiciones conducirán a:

$\frac{D \rho}{D t} = 0$

Pero, de la ecuación de conservación de masa (ecuación de continuidad), tenemos:

$\frac{D \rho}{D t} = -\rho \nabla \cdot \mathbf{u}$

Como resultado:$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Para fluido compresible: de la ecuación de balance de energía interna, sabemos:

$\rho \frac{D e}{D t} = -\nabla \cdot \mathbf{q} + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Dónde$e$es la energía interna del sistema, que es igual a la entalpía en la condición de presión constante,$\mathbf{q}$es el flujo de calor térmico,$\sigma$es el tensor de tensiones de Cauchy, que es igual a:$\sigma = -P \mathbf{I} + \tau$, dónde$P$es la presión y$\tau$es la tensión desviadora.

Para fluido isotérmico compresible:$\frac{D e}{D t} = 0$y$\nabla \cdot \mathbf{q} = 0$.

Como resultado:$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = 0$.

Para un fluido compresible newtoniano, tenemos:$\tau = \mu (\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^{T}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{I}$.

Dónde$\mu$es la viscosidad de corte y$\zeta$es la viscosidad aparente.

Finalmente, el término$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$podría expandirse como:

$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$.

Dónde$S$es el tensor de velocidad de corte, que se define como:$S = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^{T})$.

Finalmente, tenemos:

$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = 0$

o

$(P - \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})) (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Ahora, podríamos argumentar que a bajas velocidades (bajo número de Mach), el término de disipación de calor viscoso ($2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$) es despreciable. Como resultado, tenemos:

$(P - \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})) (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 0$

Finalmente, deberíamos tener:

$P = \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})$

o

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

La primera ecuación ($P = \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})$) es contradictorio porque la presión termodinámica$P$solo debería depender de los potenciales de equilibrio y no de variables cinéticas como la velocidad. Como resultado, tenemos:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Por lo tanto, prueba que el fluido comprimible podría tratarse como un flujo incompresible, cuando su velocidad sigue siendo pequeña en comparación con la velocidad del sonido (número de Mach bajo).

Entonces, mi pregunta es ¿por qué en los libros de texto clásicos de mecánica de fluidos, la gente siempre afirma que la condición libre de divergencia es una consecuencia directa de la conservación de la masa? En este momento, muestro que podría derivarse con suposiciones mínimas de la ecuación de conservación de energía. Cualquier idea o sugerencia es apreciada.

Edición:

Prueba de tasa de calor de disipación viscosa insignificante:

Ecuación de balance de energía interna completa:

$\rho \frac{\partial e}{\partial t} + \rho \mathbf{u} \cdot \nabla e = -\nabla \cdot \mathbf{q} + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

La energía interna será igual a la entalpía a presión constante. Como resultado tenemos:

$e = C_{p} \Delta T$

Dónde$C_{p}$es la capacidad calorífica específica a presión constante y$\Delta T$es la diferencia de temperatura desde el punto de referencia. Además, asumiendo la ley de transferencia de calor de Fourier, tenemos:

$\mathbf{q} = -k \nabla T$

Dónde$k$es la conductividad del calor.

La ecuación de la energía interna se puede reescribir como:

$\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t} + \rho C_{p} \mathbf{u} \cdot \nabla T = k \nabla^{2} T + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Si ponemos la expansión de$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$para un fluido compresible newtoniano, finalmente encontraremos:

$\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t} + \rho C_{p} \mathbf{u} \cdot \nabla T = k \nabla^{2} T -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Esta ecuación podría adimensionalizarse tomando:

$\theta = \frac{\Delta T}{\Delta T_{0}}$,$t^{'} = \frac{t}{t_{0}}$,$\mathbf{u}^{'} = \frac{\mathbf{u}}{u_{0}}$,$\nabla^{'} = \epsilon \nabla$,$P^{'} = \frac{P}{P_{0}}$,$S^{'} = \frac{\epsilon S}{u_{0}}$

Entonces la ecuación anterior podría reescribirse como:

$\frac{\rho C_{p} \Delta T_{0}}{t_{0}} \frac{\partial \theta}{\partial t^{'}} + \frac{\rho C_{p} u_{0} \Delta T_{0}}{\epsilon} \mathbf{u}^{'} \cdot \nabla^{'} \theta = \frac{k \Delta T_{0}}{\epsilon^{2}} {\nabla^{'}}^{2} \theta - \frac{P_{0} u_{0}}{\epsilon} P^{'} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'}) + \frac{\zeta u_{0}^{2}}{\epsilon^{2}} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})^{2} + \frac{2 \mu u_{0}^{2}}{\epsilon^{2}} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'})$

Finalmente, al tomar$\alpha = \frac{k}{\rho C_{p}}$y su forma adimensional$\alpha^{'} = \frac{\alpha t_{0}}{\epsilon^{2}}$, tenemos:

$\frac{1}{\alpha^{'}} \frac{\partial \theta}{\partial t^{'}} + Pe \mathbf{u}^{'} \cdot \nabla^{'} \theta = {\nabla^{'}}^{2} \theta - \frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'}) + Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})^{2} + 2Br_{shear} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'})$

Donde los números de Peclet, de Brinkman a granel y de corte de Brinkman se definen como:

$Pe = \frac{u_{0} \epsilon}{\alpha}$

$Br_{bulk} = \frac{\zeta u_{0}^{2}}{k \Delta T_{0}}$

$Br_{shear} = \frac{\mu u_{0}^{2}}{k \Delta T_{0}}$

Finalmente, para un fluido isotérmico:$\theta = \theta_{0} = const.$y tendremos:

$2Br_{shear} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'}) = (\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} - Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})) (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$

Para números de Mach bajos, los números de Brinkman (tanto de corte como de volumen) son insignificantes. De hecho, el número de Brinkman debería ser al menos del orden de$O(1)$considerar la tasa de calor de disipación viscosa en la ecuación de energía interna. Para fluidos convencionales en un régimen de número de Mach bajo, el número de Brinkman es del orden de$O(10^{-3})$, que es despreciable.

Como resultado, deberíamos tener:

$\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} = Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$

o

$\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'} = 0$

De nuevo, podríamos argumentar que la primera ecuación ($\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} = Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$) podría no ser cierto porque la presión termodinámica solo debería depender del potencial de equilibrio y no de las variables cinéticas (por ejemplo, la velocidad). Como resultado finalmente encontraremos:

$\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'} = 0$

o en su forma dimensional:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$