¿No hay término de difusión en la conservación de la masa en las ecuaciones de Navier-Stokes?

Para un fluido de un solo componente, la conservación de la masa sigue

$$\left(\begin{array}{c}\text{mass of fluid } \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of fluid } \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{sources or} \\ \text{sinks in }\Delta V\end{array}\right)$$ En términos de un cubo de volumen $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$, esto es $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\rho\Delta V&=\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x}-\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x+\Delta x} \\ &+\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y}-\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y+\Delta y} \\ &+\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z}-\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z+\Delta z} \\ &+r\Delta V \end{align}$$ El flujo aquí se define como $\rho v_i$: la masa que fluye hacia el exterior, $\rho$, debe fluir a la velocidad del fluido en el volumen de la celda, $v_i$. Si tuviera lugar una difusión microscópica, no podríamos saberlo porque las masas moleculares son idénticas, por lo que no podríamos distinguir el estado 1 del estado 2.

Luego dividiendo ambos lados por$\Delta V$y tomando el limite$\Delta x\to0$, terminamos con el PDE

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial\rho v_x}{\partial x}-\frac{\partial\rho v_y}{\partial y}-\frac{\partial\rho v_z}{\partial z}+r$$ que se reduce a la ecuación de continuidad comúnmente vista $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0$$ sin fuentes/sumideros ( $r=0$).

Sin embargo, podemos tener un componente de difusión en la ecuación de continuidad si estamos considerando diferentes especies químicas que pueden interactuar. Para un volumen arbitrario de algunas especies químicas$i$, el balance de masa es

$$\left(\begin{array}{c}\text{mass of species }i \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of species }i \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{mass produced} \\ \text{by reactions}\end{array}\right)$$ que es realmente, $$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{n}=r\tag{1}$$ dónde $\mathbf{n}$es el flujo de especies $c_i$, y $r$el término fuente. Esta es, por supuesto, nuestra ecuación de continuidad común con un término fuente. En el caso del fluido multicomponente aquí, la difusión de partículas cambiará los estados, por lo que el estado inicial ya no es equivalente al estado final.

Para flujos estacionarios, el flujo de transferencia de masa es

$$\mathbf{n}=-D\nabla c_i$$ para darnos la ley de Fick . Sin embargo, para un flujo en movimiento , el flujo tiene una difusión y una componente de convección/advección, $$\mathbf{n}=-D\nabla c_i+c_i\mathbf{v}$$ lo que permitiría entonces (1) ser $$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla \cdot c_i\mathbf{v}=\nabla\cdot\left(D\nabla c_i\right)+r\tag{2}$$ que es una ecuación de convección-difusión .

Sin embargo, con la ecuación de cantidad de movimiento, tenemos algunos términos adicionales que están asociados con la forma cambiante del volumen de control.$\Delta V$:

$$\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V\rho \mathbf u\,dV=-\oint_S\left(\rho \mathbf u\,d\mathbf S\right)\mathbf u-\oint_S p\,d\mathbf S+\iiint_V\rho\mathbf f_{body}\,dV+\mathbf F_{surf}$$ es decir, las fuerzas del cuerpo, $\mathbf{f}_{body}$, y fuerzas superficiales, $\mathbf{F}_{surf}$. Es la fuerza de superficie la que genera el término de difusión, ya que está relacionada con el tensor de tensión que proporciona el $\nu\nabla^2\mathbf{v}$término en la ecuación de Navier-Stokes.

Dejé esto como un comentario, pero lo ampliaré aquí ya que proporciona otro punto de vista. Imagina que tienes una caja de moléculas de gas rebotando en ellas. Cada molécula es idéntica por lo que tienen la misma masa, temperatura y presión. Digamos también que esta caja tiene un diafragma en el medio que separa la caja en dos.

Ahora quita el diafragma y empieza a buscar cambios en el gas de la caja. Pero no ve que suceda nada porque por cada molécula que comenzó a la izquierda del divisor que se mueve hacia la derecha del divisor, una molécula de la derecha se mueve hacia la izquierda. Pero son exactamente las mismas masas, presiones y temperaturas, por lo que no hay cambios en el estado real de la caja.

Ahora imagina que tienes la misma caja, dividida por la mitad, pero esta vez colocas una molécula liviana a la izquierda y una pesada a la derecha, nuevamente todas con la misma presión y temperatura. Ahora, cuando quitas el diafragma, cuando una molécula pesada se mueve hacia el lado de la molécula liviana, varias moléculas livianas se moverán hacia el lado pesado. Y si observa esto a lo largo del tiempo, la interfaz nítida se difundirá a medida que estas moléculas reboten entre sí y se mezclen. Eventualmente, se volverá homogéneo y no verá más cambios en el sistema.

Ahora imagina si tuviéramos la misma caja, el mismo divisor, con moléculas idénticas a la izquierda y a la derecha pero ahora la temperatura de la izquierda fuera más alta que la de la derecha. Cuando se quita el divisor y una molécula de alta temperatura se mueve hacia un lado y una de baja temperatura toma su lugar, verá que la temperatura del sistema se difunde y se mezcla hasta que es homogénea. Puede hacer el mismo argumento sobre el impulso para obtener el término de difusión viscosa.

Entonces, todo esto es para decir que todas las ecuaciones describen las mismas cosas, pero la difusión de masa idéntica da un sistema indistinguible del estado anterior. Simplemente no hay diferencias observables, por lo que no hay un término de difusión en la ecuación de masa. A menos que tenga múltiples especies (moléculas diferentes), en cuyo caso esas ecuaciones de masa parcial tienen un término de difusión.

Entonces, en realidad es una razón muy simple, pero tendrás que pensar un poco sobre lo que está pasando.

La ecuación de transporte establece que todo lo que es una "cosa" se puede ver de esta manera: "Una pequeña caja fluye corriente abajo; la tasa de cambio en el tiempo de la materia dentro de la caja es igual al flujo de materia a través del límite de la caja, más cualquier cosa que se inserte en la caja a través de algún otro mecanismo". Por supuesto, la propia masa del fluido es una materia, su momento en la dirección x es una materia, su temperatura es una materia en forma de energía térmica, etc. Prácticamente todo lo que se conserva puede verse como una "materia". .

Tomándolo por partes, el material se describe por alguna concentración o densidad.$c$; la corriente por algún campo de velocidad$\vec v(\vec r, t)$. La parte que dice "una caja fluye corriente abajo, la tasa de cambio en el tiempo de las cosas dentro de la caja" comienza con:

$$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = \dots~~~.$$ (Si nunca ha visto esto antes: la caja aparecerá en el momento $t + dt$derrotar $\vec r + \vec v~dt;$Taylor-expandir $c(\vec r + \vec v ~dt, t + dt) - c(\vec r, t)$para encontrar esa "derivada convectiva".)

El flujo de$c$entonces se describe por una densidad de corriente$\vec j$, pero esta solo se acumula en la caja con su divergencia negativa . Finalmente, el "otro mecanismo" se deja como un término$q$para ser rellenado más tarde, por lo tanto

$$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = -\nabla \cdot \vec j + q~.$$ Una forma típica de $\vec j$de hecho afirma que $$\vec j = c ~\vec v - D ~\nabla c ~.$$ Esto dice que la "cosa" fluye principalmente río abajo, pero también tiene algún efecto donde no fluye río abajo: a saber, fluye de una concentración alta a una concentración más baja por un flujo "localmente lineal" (ley de Fick, lineal en el el sentido de que el doble de la brecha de concentración localmente = el doble del flujo). Conectar este formulario da la forma común: $$\frac{\partial c}{\partial t} + \nabla \cdot (c ~\vec v) = D \nabla^2 c ~+~ (\nabla D) \cdot (\nabla c) ~+~ q~.$$

Así que ahora vuelve a esa expresión para$\vec j$: puedes ver por qué$D = 0$es la única opción apropiada cuando estamos hablando de la masa del fluido en sí?

Sí: es porque toda la información que necesitamos ya está en$\vec v$. El flujo de la masa del fluido mismo es simplemente$\rho ~\vec v$, punto final, nada más.

Dicho de otra manera, si la masa fluida estuviera fluyendo de otra manera, entonces$\vec v$sería diferente para compensar. El hecho, por ejemplo, de que el fluido pueda ser comprimible ya está en la ecuación, escondido en el$\nabla \cdot (\rho ~ \vec v)$término. Lo único que no está allí es si el fluido entra en la corriente desde el mundo exterior, pero eso está enterrado en$q$. No hay posibilidad de que la masa fluida interactúe consigo misma fuera de este mecanismo sin que definamos un conjunto diferente de partículas como el "fluido" propiamente dicho y sigamos ese fluido como nuestro$\vec v$, en cuyo caso esas partículas$\rho$tiene el mismo fenómeno ocurriendo.

Ya se mencionó el punto básico, pero me gustaría dar mi versión de la respuesta y señalar una sutileza. Las ecuaciones básicas de la dinámica de fluidos son la conservación de la masa, el impulso y la energía.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} - \vec{\nabla}\cdot\vec{\jmath}_\rho \\ \frac{\partial \pi_i}{\partial t} = - \nabla_j\Pi_{ij}, \\ \frac{\partial {\cal E}}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot\vec{\jmath}^{\;\epsilon} .$$ La teoría de Navier-Stokes corresponde a tener en cuenta los términos difusivos en el tensor de tensiones $\Pi_{ij}$. Estos términos están relacionados con la viscosidad aparente y al corte, $\delta\Pi_{ij}=-\eta\sigma_{ij}-\zeta\delta_{ij}\langle \sigma\rangle$con $$\sigma_{ij} = \nabla_i u_j +\nabla_j u_i -\frac{2}{3}\delta_{ij} \langle\sigma\rangle \, , \;\;\; \langle\sigma\rangle =\vec{\nabla}\cdot\vec{u}\, .$$ Los términos difusivos también aparecen en la corriente de energía. $\vec{\jmath}^{\;\epsilon}$. Además de la viscosidad, la corriente de energía contiene la conductividad térmica. $\delta\jmath_i^{\;\epsilon}=u_j\delta\Pi_{ij}-\kappa\nabla_i T$.

¿Por qué no hay términos difusivos en la corriente de masa?$\jmath_\rho$? La respuesta correcta es de hecho que$\vec{\jmath}_\rho=\rho\vec{u}$se utiliza para definir la velocidad del fluido. Otras definiciones son posibles. En el dominio relativista, con frecuencia definimos la velocidad del fluido usando la corriente de energía (esto se llama el marco de Landau), y luego aparecen términos difusivos en la corriente de masa.

La sutileza: en dinámica de fluidos también usamos que la densidad de momento es$\vec{\pi}=\rho\vec{u}$. Desde que usamos$\vec{\jmath}_\rho$definir$\vec{u}$no es obvio por qué esta relación no es modificada por términos difusivos.

La respuesta es, por supuesto, que$\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$está relacionado con una simetría. Multiplique la conservación de la masa por$\vec{r}$e integrar sobre el espacio (este argumento se debe a Landau). Obtenemos

$$\frac{\partial}{\partial t}\int d^3r\, \vec{r}\rho + \int d^3r\, \vec{\jmath}_\rho =0.$$ Dado que el primer término es el centro de masa, el segundo término debe ser el momento total. El centro de masa es uno de los generadores del grupo de Schroedinger, por lo que la simetría es la simetría de Schroedinger. Jensen ( http://arxiv.org/abs/1411.7024 ) dio una versión moderna de este argumento . $\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$es una identidad de Ward que se puede derivar usando la geometría de Newton-Cartan.

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el fluido de una manera aproximada que ignora por completo la difusión de las moléculas. En el caso ordinario, se supone que el campo de velocidad es uniforme.

"Difusión de impulso" mencionado en relación con el término proporcional a$\Delta \mathbf u$no es realmente una difusión en el sentido molecular. Es más bien una especie de metáfora para describir la transferencia de impulso debido a fuerzas viscosas en el fluido. No se describe ninguna difusión real a este nivel macroscópico. En las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes, todo movimiento de la materia es puramente convectivo, dado por un campo de velocidad uniforme. Es solo que las fuerzas viscosas (que tienen conexión con la difusión real pero no en este nivel de teoría) conducen a la evolución de la distribución del momento que recuerda a la difusión ordinaria.