¿Cómo se derivó el número de Reynolds?

No hay magia detrás de esto. Se hizo eliminando las dimensiones de la ecuación de momento en las ecuaciones de Navier-Stokes.

Empezando con:

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j x_j}$$

que es la ecuación de cantidad de movimiento para un flujo incompresible. Ahora eliminas las dimensiones de las cosas eligiendo algunos valores de escala apropiados. Miremos solo la ecuación de la dirección X y supongamos que es 1D por simplicidad. Introducir$\overline{x} = x/L$,$\overline{u} = u/U_\infty$,$\tau = tU_\infty/L$,$\overline{P} = P/(\rho U_\infty^2)$y luego sustituirlos en la ecuación. Usted obtiene:

$$\frac{\partial U_\infty \overline{u}}{\partial \tau L/U_\infty} + U_\infty\overline{u}\frac{\partial U_\infty \overline{u}}{\partial L \overline{x}} = - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{P}\rho U_\infty^2}{\partial L\overline{x}} + \nu \frac{\partial^2 U_\infty \overline{u}}{\partial L^2 \overline{x}^2}$$

Así que ahora, reúnes los términos y divides ambos lados por$U_\infty^2/L$y obtienes:

$$\frac{\partial \overline{u}}{\partial \tau} + \overline{u}\frac{\partial \overline{u}}{\partial \overline{x}} = -\frac{\partial \overline{P}}{\partial \overline{x}} + \frac{\nu}{U_\infty L}\frac{\partial^2 \overline{u}}{\partial \overline{x}^2}$$

Donde ahora deberías ver que el parámetro en el término viscoso es$\frac{1}{Re}$. Por lo tanto, cae naturalmente de las definiciones de los parámetros no dimensionales.

la intuición

Hay algunas otras maneras de llegar a él. El teorema de Buckingham Pi es una forma popular (demostrada en la respuesta de Floris ) donde reúnes todas las unidades en tu problema en este caso$L, T, M$y encontrar una manera de combinarlos en un número sin dimensión. Hay una forma de hacerlo, que termina siendo el número de Reynolds.

La interpretación de las fuerzas de inercia a las viscosas proviene de observar la ecuación no dimensional. Si inspecciona la magnitud de los términos, a saber, el término convectivo (o inercial) y el término viscoso, el papel del número debería ser obvio. Como$Re \rightarrow 0$, la magnitud del término viscoso$\rightarrow \infty$, lo que significa que domina el término viscoso. Como$Re \rightarrow \infty$, el término viscoso$\rightarrow 0$y así dominan los términos inerciales. Por lo tanto, se puede decir que el número de Reynolds es una medida de la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas en un flujo.

La forma en que me lo explicaron: comienzas pensando en todos los posibles factores que podrían jugar en la resistencia (tamaño, velocidad, densidad, viscosidad, ...); luego realiza un análisis dimensional y encuentra combinaciones adimensionales; estas tienden a ser "especiales" ya que permanecen constantes en diferentes escalas de tiempo y espacio.

El número de Reynolds es una de esas combinaciones. La interpretación se sigue de la inspección.

Así es como se hace:

size: L
velocity: L/T
density: M/L^3
viscosity: M/LT

Ahora buscamos una combinación que no tenga dimensiones. Primero eliminamos T tomando la relación de velocidad y viscosidad:

velocity / viscosity = vv = L/T / (M/LT) = L^2/M

A continuación eliminamos M:

density * vv = dvv = M/L^3 * L^2 / M = 1/L

Finalmente eliminamos L:

dvv * size = 1/L * L = 1

Así que la expresión adimensional final es

density * velocity * size / viscosity

cual es el numero de reynold...

Fue señalado por tpg2114 que esta es una aplicación del teorema de Buckingham Pi . Lo uso todo el tiempo , y nunca supe que tenía un nombre...