Ecuación de continuidad en el enfoque de imagen de flujo de Lagrange

1. En la imagen de flujo lagrangiano ${\bf a}\equiv(a,b,c)$típicamente denotan etiquetas continuas de un paquete fluido distribuido de tal manera que

   $$d(\text{mass})~=~da~db~dc,\tag{2.1}$$ cf. por ejemplo, ref. 1.

2. Por otro lado${\bf x}\equiv(x,y,z)$típicamente denotan las coordenadas de posición de un paquete fluido. Por lo tanto, la densidad de masa se convierte en

   $$\rho~=~ |\det\frac{\partial{\bf a}}{\partial{\bf x}} |.\tag{2.2}$$

3. La velocidad del flujo se define como

   $${\bf u}~\equiv~ \frac{d{\bf x}}{dt}.\tag{2.4}$$ La ecuación del continuo de masas sigue en la imagen de flujo de Lagrange de $$\begin{align} -\frac{d\ln\rho}{dt}~=~&\frac{d}{dt}\ln |\det \frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf a}}|\cr ~=~&{\rm tr}\left( \frac{\partial{\bf a}}{\partial{\bf x}}\frac{d}{dt}\frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf a}}\right)\cr ~=~&{\rm tr}\left( \frac{\partial}{\partial{\bf x}}\frac{d{\bf x}}{dt}\right)\cr ~=~&{\bf \nabla}\cdot {\bf u}.\end{align} \tag{2.3}$$ Para un flujo incompresible , la densidad$\rho$es constante a lo largo del flujo de fluido.

Referencias:

1. R. Salmon, Mecánica de fluidos hamiltoniana, Ann. Líquido Rev. mecánico (1988) 225 . El archivo pdf se puede descargar de la página web del autor .