¿Por qué el número de Reynolds es "como es"? ¿Por qué su orden es como es?

El número de Reynolds, con$\rho$la densidad,$u$la magnitud de la velocidad,$\mu$la viscosidad y$L$alguna escala de longitud característica (por ejemplo, altura del canal o diámetro de la tubería) viene dada por

$$\text{Re}=\frac{\rho~u~L}{\mu}.$$ Esta es una relación adimensional de la relación de fuerzas de inercia ( $\rho u u$) a fuerzas viscosas ( $\mu\frac{u}{L}$). Por lo tanto, significa la importancia relativa de las fuerzas de inercia a las fuerzas viscosas.

En el régimen laminar, las fuerzas viscosas son dominantes (es decir,$\text{Re}\ll 1$) mientras que en el régimen turbulento, las fuerzas de inercia son dominantes (es decir,$\text{Re}\gg 1$). En la transición de flujo laminar a turbulento, las fuerzas de inercia comienzan a superar a las fuerzas viscosas, lo que simplemente significa que la viscosidad ya no puede suavizar los gradientes de velocidad en un flujo laminar uniforme (excepto cerca de un límite donde aún son importantes) y la inercia de las causas del flujo 'tropiece' sobre sí mismo causando vórtices y en general un comportamiento caótico asociado con la turbulencia.

El número de Reynolds es la forma en que es por un análisis dimensional de las ecuaciones hidrodinámicas que gobiernan el flujo (es decir, las ecuaciones de Navier-Stokes). Supongamos un flujo constante (es decir,$\partial_t\mathbf{u}=0$)

$$\rho~\mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla}\mathbf{u}=-\mathbf{\nabla}p + \mu~\mathbf{\nabla}^2\mathbf{u}.$$

No dimensionalizando esto definiendo$\bar{x}=\frac{x}{L}$,$\bar{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{u}}{U}$y$\bar{p}=\frac{p}{P}$dónde$U$y$P$son escalas características de velocidad y presión respectivamente, obtenemos:

$$\rho~\frac{U^2}{L}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\frac{P}{L}~\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \mu \frac{U}{L^2}~\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

podemos simplificar esto dividiendo por$\mu\frac{U}{L^2}$y definiendo$P=\mu\frac{U}{L}$Llegar:

$$\text{Re}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

que revela el número de Reynolds. Para$\text{Re}\ll 1$, donde domina la viscosidad, vemos que el término convectivo de la izquierda se vuelve insignificante en comparación con el gradiente de presión y el tensor de tensión viscoso de la derecha.

Para$\text{Re}\gg 1$podemos hacer lo mismo excepto que entonces necesitamos dividir por$\rho\frac{U^2}{L}$y definir$P=\rho U^2$Llegar:

$$\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \frac{1}{\text{Re}}\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

Ahora, el tensor de tensión viscoso de la derecha se vuelve insignificante en comparación con el gradiente de presión y el término de convección de la izquierda.

Tenga en cuenta que la escala de presión característica$P$se definió en una escala viscosa e inercial según el régimen en el que nos encontráramos. Esto es necesario ya que se requiere que el gradiente de presión adimensional sea del mismo orden que al menos otro término.

Tenga en cuenta también que la turbulencia real es inherentemente inestable, mi tratamiento anterior de las ecuaciones constantes de Navier-Stokes para diferentes regímenes fue centrarme en el papel del número de Reynolds y simplemente mantenerlo lo más corto posible.

La pregunta que hace es en realidad la pregunta central de una gran subdisciplina de la dinámica de fluidos. Algunos incluso se han referido a él como "el último gran problema sin resolver de la física clásica". Si obtiene una respuesta completa, por favor hágamelo saber! (Y no le digas a nadie más. Solo mantente entre nosotros, ¿eh?)

Generalmente, siempre hay pequeñas fluctuaciones en cualquier flujo, incluso si el flujo es muy laminar. (Si nada más, al menos hay fluctuaciones térmicas). En los regímenes de flujo laminar, lo que generalmente significa a baja Re, esas fluctuaciones se amortiguan rápidamente. A mayor Re, la viscosidad se vuelve relativamente menos importante y esas fluctuaciones pueden volverse inestables. Por ejemplo, el flujo cortado cerca de la pared de una tubería puede enrollarse en tubos de vórtice, y si no se amortiguan, pueden estirarse en herradura y luego en forma de horquilla, y ahora tiene una estructura pequeña con alto corte local. que se ha alejado un poco de la pared. El proceso puede repetirse en la vecindad de esas estructuras, y si crece y se multiplica rápidamente, tienes un flujo turbulento. Ese es solo un ejemplo,

No existe (todavía) una teoría unificada de la inestabilidad y, por lo tanto, no hay una respuesta universal a cuándo o por qué se genera la turbulencia. Es un problema que muchas grandes mentes, incluidas Heisenberg y Feynman, ponderaron, pero aún está abierto. Incluso en una situación particular, como el flujo de tuberías, los detalles aún no se comprenden bien. Pero puede ver por qué, en general, una Re más alta tiende a hacer que la turbulencia sea más probable: se debe a que a una Re más alta hay menos amortiguación y, por lo tanto, más tendencia a la inestabilidad. También puede ver por qué la transición a la turbulencia depende sensiblemente de los detalles del flujo; por ejemplo, si las paredes de una tubería son aunque sea un poco ásperas, es más fácil que se exciten inestabilidades y se formen turbulencias que si son extremadamente suaves.