La definición (estándar) de un grupo.

Pregunta 2 : Aquí hay cuatro ejemplos de mis estanterías:

1. Derek Robinson's A Course in the Theory of Groups , 2nd Edition (Springer, GTM 80), define un grupo como un semigrupo (conjunto no vacío con una operación binaria asociativa) que tiene una identidad correcta e inversas correctas (página 1; él prueba que también trabajar a la izquierda en 1.1.2, en la página 2).

2. The Theory of Groups de Marshall Hall, Jr. (AMS Chelsea Publishing es la versión que estoy viendo). Proporciona las versiones de dos caras y de una cara como parte de la definición general de un grupo, indicando que la de dos caras es "redundante" y dando la de una cara.

3. Burnside, Theory of groups of finite order (estoy mirando la reimpresión de Dover de 1959 de la segunda edición de 1911 del original) define un grupo preguntando solo que los elementos tienen inversas. No requiere una identidad explícitamente, pero se deduce del requisito de los inversos izquierdos.

4. El álgebra de van der Waerden requiere solo una identidad izquierda e inversas izquierdas.

Pregunta 1. Si desea incluir grupos en la teoría más general de semigrupos, monoides, etc., tenga en cuenta que en un monoide debe especificar que la identidad tiene dos lados; no puedes deducirlo. Entonces, si quiere decir algo como "Un grupo es un monoide en el que cada elemento tiene inversos", o "Un grupo es un semigrupo que tiene una identidad y también tiene inversos para cada elemento" (esto es básicamente lo que hace Bourbaki), entonces su especificación de identidad debe ser de dos lados, en cuyo caso tener el inverso definido de un solo lado parece un poco extraño.

Además, las definiciones coinciden con la experiencia que la mayoría de los estudiantes universitarios habrán tenido: en este punto, probablemente estén familiarizados con los ejemplos numéricos habituales ($\mathbb{Z}$,$\mathbb{R}$,$\mathbb{Q}$,$\mathbb{C}$, tal vez los cuaterniones, posiblemente los enteros módulo$n$), y posiblemente también matrices. Por lo tanto, es mejor dar una definición que coincida con las expectativas, incluso si es un poco más complicada/superflua, que una que sea formalmente más inclusiva (poniendo menos condiciones en el objeto) pero que puede parecer que invita a consultas cuando se combina con los ejemplos habituales. . Especialmente cuando uno mostraría casi de inmediato que, de hecho, son de dos caras.

Técnicamente hablando, ninguna de sus definiciones es correcta, porque (iii) se refiere a un indefinido$e$. Desde un punto de vista riguroso, tienes 2 opciones:

Opción 1

$(G,*,e)$es un grupo si$*$es una operación binaria en$G$y$e∈G$y:

1. $∀a,b,c\ ( \ (a*b)*c = a*(b*c) \ )$.
2. $∀a\ ( \ a*e = e*a = a \ )$.
3. $∀a\ ∃b\ ( \ a*b = b*a = e \ )$.

opcion 2

$(G,*)$es un grupo si$*$es una operación binaria en$G$y:

1. $∀a,b,c\ ( \ (a*b)*c = a*(b*c) \ )$.
2. $∃e\ ( \ ∀a\ ( \ a*e = e*a = a ∧ ∃b\ ( \ a*b = b*a = e \ ) \ )$.

~ ~ ~

Aparte de eso, es erróneo pensar que es del todo bueno tener la definición 'más simple' posible. Por ejemplo, PL (lógica proposicional) se puede axiomatizar mediante un esquema de oración de un solo axioma (por ejemplo, el de Meredith tal como se indica en wikipedia ). Si quiere empeorar las cosas, use el trazo sheffer (NAND) y ningún otro conector booleano, solo porque NAND es funcionalmente completo.

Otro ejemplo es PA (aritmética de Peano de primer orden). La axiomatización de PA en términos de un semianillo ordenado discreto con inducción es muy superior a la axiomatización basada en sucesores, simplemente porque revela más de la verdadera estructura del modelo previsto.$ℕ$de AP. De hecho, la motivación para la PA en primer lugar surgió de querer axiomatizar$ℕ$, por lo que solo nos interesan las teorías que pueden probar las propiedades básicas de$ℕ$, y como era de esperar, estas propiedades básicas se expresan con precisión mediante los axiomas semianulares ordenados discretos más la inducción.

No puedo responder a tu segunda pregunta, pero intentaré responder a la primera.

Incluso si tuviéramos que trabajar con la segunda definición, puede apostar que una de las primeras cosas que cualquier autor de un libro de texto haría sería demostrar que la segunda definición implica la primera y luego trabajar con eso en el resto del texto.

Además, el hecho de que las dos definiciones sean equivalentes no se considera realmente importante, porque rara vez se da el caso de que comencemos con una estructura sabiendo que cumple los requisitos de la definición del 'grupo derecho' pero sin estar seguros de si es o no una estructura. 'grupo verdadero'.

Además, es probable que una definición como esta cause más confusión al lector. Si bien puede ser superficialmente más delgado, las personas encuentran las simetrías muy intuitivas. Definir grupos de esta manera los hace parecer extraños (incluso más de lo que ya son para muchas personas) y plantea muchas preguntas como "¿qué pasa si esta regla se modifica?" que son preguntas perfectamente buenas para hacer, pero restan valor a lo que tratan la mayoría de los libros de álgebra abstracta.

En última instancia, creo que si este cambio en la definición se introdujera en un libro, podría darle al lector algunas preguntas interesantes en las que pensar, pero en su mayoría solo ocupará un espacio adicional hacia el comienzo del libro explorando cosas que serán irrelevantes para el resto del libro, después de lo cual el autor continuaría usando la definición estándar de todos modos. Probablemente por eso no se usa mucho.

(siéntase libre de comentar o editar para cualquier corrección o sugerencia)

Esta es una respuesta parcial de "desafío de marco" a su Pregunta 1. Usted escribe:

Esto me parece extraño dado que es deseable hacer definiciones lo más ligeras posible.

La “delgadez” es ciertamente deseable, en igualdad de condiciones, pero no es el único criterio deseable para las definiciones, ni el predominante. Otros importantes incluyen la naturalidad, la comprensibilidad y la generalizabilidad; y todo esto hace preferible la definición estándar de un grupo. Mirando algunos problemas específicos:

• La definición estándar es simétrica. Las presentaciones que sugiere introducen una asimetría artificial en la axiomatización; por supuesto, todavía se sigue que la teoría resultante es simétrica, pero la axiomatización lo oculta.

• En ejemplos de grupos, pensamos en los inversos y las unidades como de dos caras, porque lo son. Es natural dividir las versiones para zurdos y diestros en ejemplos en los que realmente divergen. Entonces, la presentación estándar se ajusta mejor a cómo vemos los ejemplos.

• Como detalla la respuesta de Arturo Magidin , la definición estándar se generaliza mejor cuando pasamos a estructuras más débiles: monoides, etc., donde las nociones de uno y dos lados realmente no son equivalentes.

Todos estos son un poco subjetivos, pero sin embargo muy reales e importantes al elegir una definición.

A modo de comparación, Higman y Neumann (siguiendo el trabajo anterior de Tarski) demostraron que los grupos se pueden axiomatizar utilizando una sola operación$x/y$“división”, y un solo axioma:$x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x) / z)) = y$. Esto es ciertamente "más delgado" que la presentación estándar o sus versiones de un solo lado; pero también es mucho menos comprensible, natural o generalizable. Supongo que estaría de acuerdo en que esto no debería darse como la definición principal de un grupo. Su sugerencia es ciertamente mucho mejor que esta; pero creo que la mayoría de los matemáticos estarían de acuerdo en que, para la mayoría de los propósitos, es un poco menos claro y natural que la definición estándar, por lo que la definición estándar sigue siendo preferible.

Deliberadamente no es una respuesta

Creo que no es una mala idea presentar la definición simétrica, trabajar un poco con grupos y luego hacer un ejercicio que diga "Aquí hay una definición alternativa; demuestre que implica nuestra definición". Y ese ejercicio podría continuar con una discusión sobre cómo/por qué elegimos ciertas definiciones [quizás copiadas de algunas de las respuestas aquí].

En un curso en el que intenta formar matemáticos en ciernes, asigna este problema. En un curso en el que solo está tratando de enseñar algo de álgebra (por ejemplo, a personas que necesitan saberlo para cristalografía), lo salta.

Y en un curso en el que planea discutir cómo construir una jerarquía para la formalización de las matemáticas y una implementación usando computadoras, como el de Isabelle/HOL, por ejemplo, puede volverse loco hablando de todas las diferentes posibilidades y cómo cada uno ayuda/dificulta su desarrollo en otros aspectos del álgebra.