Clasificación completa de los grupos para los que se cumple el recíproco del teorema de Lagrange

Estos grupos se denominan grupos Lagrangianos o CLT. Se han estudiado a menudo en la literatura. No existe una clasificación completa, pero sí muchos criterios interesantes. Dos (de muchas) referencias son las siguientes:

• HG Bray: Una nota sobre los grupos CLT , Pacific Journal of Mathematics 27 (1968), no. 2., 229-231.

• F. Barry, D. MacHale, AN Ella: Algunas condiciones de supersolubilidad para grupos finitos. , Matemáticas. Actas de la Royal Irish Academy 167 (1996), 163--177.

Definición: Un grupo finito$G$se llama lagrangiano si y solo si para cada divisor positivo$d$de$|G|$existe al menos un subgrupo$H\le G$con$|H|=d$.

Es fácil ver que todo grupo lagrangiano es soluble y, a la inversa, todo grupo supersoluble es lagrangiano. Las inclusiones son estrictas. De hecho, cada grupo$G=A_4\times H$con un grupo$H$de orden impar es solucionable, pero no lagrangiano; y para cualquier grupo lagrangiano$G$, el grupo$(A_4\times C_2)\times G$es lagrangiano, pero no supersoluble. El contraejemplo clásico del teorema de Lagrange es$A_4$.

Por ejemplo, ningún grupo$S_n$o$A_n$con$n\ge 5$es lagrangiano. Esto se sigue del hecho de que$A_n$y$S_n$no son solucionables para$n\ge 5$. Hay algunos hechos más interesantes, que se pueden encontrar fácilmente en la literatura. Por ejemplo, tenemos:

Proposición: Si$(G:Z(G))<12$para el índice, entonces$G$es supersoluble, por lo tanto, lagrangiana.

El grupo$A_4$muestra que el resultado anterior es el mejor posible. Tenemos$(A_4:Z(A_4))=12$.

En el artículo de Barry et al. se muestra el siguiente resultado:

Proposición: Si$|[G,G]|<4$, entonces$G$es supersoluble, por lo tanto, lagrangiana.

De nuevo$A_4$muestra que este resultado es el mejor posible.

Proposición: Si$|G|$es raro y$|[G,G]|<25$, entonces$G$es supersoluble, por lo tanto, lagrangiana.

De hecho,$[G_{75},G_{75}]\simeq C_5\times C_5$tiene orden$25$, para que este resultado sea el mejor posible. Aquí$G_{75}$denota el único grupo de orden no abeliano$75$.

Indicar el número de diferentes clases de conjugación de$G$por$k(G)$.

Proposición: Si$\frac{k(G)}{|G|}>\frac{1}{3}$, entonces$G$es supersoluble, por lo tanto, lagrangiana.

Porque$\frac{k(A_4)}{|A_4|}=\frac{1}{3}$el resultado es el mejor posible. Significa que si el tamaño promedio de una clase de conjugación de$G$es menos que$3$, entonces$G$es lagrangiano.

Proposición: Si$|G|$es raro y$\frac{k(G)}{|G|}>\frac{11}{75}$, entonces$G$es supersoluble, por lo tanto, lagrangiana.

De hecho,$\frac{k(G_{75})}{|G_{75}|}=\frac{11}{75}$, para que el resultado sea el mejor posible.

Finalmente, mencionemos un resultado de Pinnock ($1998$), que está relacionado con el de Burnside$p^aq^b$-teorema de la solubilidad de grupos de tal orden.

Proposición: Sea$G$ser un grupo de orden$pq^b$con números primos$p,q$satisfactorio$q\equiv 1 \bmod p$. Entonces$G$es supersoluble, por lo tanto, lagrangiana.