La definición correcta del Factor de Klein

Prefacio

Comprender completamente los factores de Klein es una de esas cosas que realmente no importan, excepto cuando lo hacen... Creo que es por eso que encontrarás muchas versiones diferentes y aparentemente incompatibles en la literatura. También encontré esto confuso cuando estaba aprendiendo bosonización, así que te siento. Eventualmente me topé con las notas de clase de Schultz, Cuniberti y Pieri, que resultaron muy útiles. (En la versión arXiv, la discusión relevante es después de la Ec. (4.17) y en el apéndice. En la versión publicada por Springer, es después de la Ec. (2.96) y en el apéndice. La derivación de Haldane en su artículo de 1979 ( paywalled ) también podría ser útil, aunque se considera menos sencillo).

¿Cuál es la definición correcta?

A menudo comenzamos con un hamiltoniano fermiónico y lo bosonizamos. Como dices, la idea de los factores de Klein es asegurar que la versión bosonizada reproduzca fielmente la fermiónica. Hay dos cosas que los campos bosónicos no pueden hacer, para lo cual la cura es introducir los factores de Klein

1. Garantizar la anticonmutación entre diferentes especies de fermiones
2. Conectar diferentes sectores de número de fermiones

La definición dada por von Delft y Schoeller logra precisamente esto. Cuando estamos interesados ​​en las propiedades termodinámicas (por ejemplo, funciones de correlación como$L\rightarrow \infty$), sin embargo, el hecho de que los factores de Klein cambien el número de partículas equivale a un cambio de desaparición en$k_F$. Por lo tanto, esta estructura a menudo se descuida y uno se queda con un factor de Klein que parece mucho más simple. A menudo se utiliza una representación en términos de matrices gamma de Dirac, que obedece al álgebra familiar de Clifford. (Estos a menudo se ven como una especie de fermión de Majorana ficticio). En mi experiencia, esta es la forma más común de factores de Klein que se encuentran en la literatura.

Supongamos entonces que trabajamos en el límite termodinámico y hemos optado por una representación "majorana" para nuestros factores de Klein, que denotaré$\eta$. Bosonizamos todos los términos en nuestro hamiltoniano y decidimos agruparlos de acuerdo con sus partes del factor de Klein. Si estos (a falta de una palabra mejor) "prefactores del factor de Klein" conmutan, podemos suponer que estamos en un sector determinado de este$4\times 4$espacio de Klein y reemplace estos prefactores por sus valores propios. Esto puede considerarse una especie de fijación de calibre.

Para ver un buen ejemplo de cómo funciona esto en la práctica, consulte el apéndice de Schultz et al. notas de lectura. Si realmente hacemos esto, reemplazamos estos prefactores por sus valores propios, ¡habremos logrado un hamiltoniano puramente bosónico! Una parte considerable de la literatura da este salto de inmediato y asume que es posible, ignorando los factores de Klein, por así decirlo. Para ser justos, esto suele ser posible, al menos en muchos casos físicamente relevantes, como los fermiones con simetría SU(N) interna.

En pocas palabras, dependiendo del sistema que pretenda describir, pueden estar disponibles diferentes opciones apropiadas de factores de Klein.

Sobre los factores de Klein en el artículo de Teo y Kane

No he verificado esto cuidadosamente, pero espero que asuman implícitamente que están en el límite termodinámico. Entonces, todo lo que necesitamos del factor de Klein es obtener las relaciones de anticonmutación correctas, lo que se puede lograr de diferentes maneras (como se observa, por ejemplo, en las notas de Sénéchal sobre bosonización ). Notarás que la forma que están usando en Eq. (A3) es muy similar a la forma en que se imponen las relaciones de anticonmutación en la transformación de Jordan-Wigner de espines a fermiones. La ventaja de este tipo de factor de Klein* es que no hay necesidad de introducir un espacio adicional de Hilbert para que vivan los estados propios de Klein.

*No estoy seguro de que sea un nombre apropiado, pero lo usan, así que lo mantendré.