Pregunta sobre bosonización funcional

Question

Pregunta sobre bosonización funcional

Física
fermiones
bosonización
teoría de campo
materia Condensada
formalismo hamiltoniano

Kiryl Pesotski

Déjame ser un poco específico. Consideramos una partícula de Weyl en $S^{1}$ , con el siguiente hamiltoniano

H = v \int_{0}^{2 π} ψ^{†} (X) (- i \partial_{X}) ψ (X) d X

$\mathcal{H}=v\int_{0}^{2\pi}\psi^{\dagger}(x)(-i\partial_{x})\psi(x)dx$ Estas partículas tienen la propiedad de que

ρ (X) = ψ^{†} (X) ψ (X)

$\rho(x)=\psi^{\dagger}(x)\psi(x)$ está mal definido, en el sentido de que el valor esperado de

ρ (x)

$\rho(x)$ diverge Por esta razón cambiamos la definición de ordenación normal a

ρ (X) =: ψ^{†} (X) ψ (X) := ψ^{†} (X) ψ (X) - \bar{ρ} (X)

$\rho(x)=:\psi^{\dagger}(x)\psi(x):=\psi^{\dagger}(x)\psi(x)-\bar{\rho}(x)$ Donde la barra superior es el valor esperado. Con este simbolismo, tenemos que

[ρ (X), ρ (X^{'})] = \frac{i}{2 π} d^{'} (X - X^{'})

$[\rho(x), \rho(x')]=\frac{i}{2\pi}\delta'(x-x')$ En lugar de lo habitual

[ρ (x), ρ (x^{'})] = 0

$[\rho(x), \rho(x')]=0$ . También sabemos que para los bosones quirales se tiene

[φ (X), φ (X^{'})] = - i π firmar (xx')

$[\varphi(x), \varphi(x')]=-i\pi~\mbox{sign(x-x')}$ Entonces, al diferenciar el conmutador bosónico dos veces con respecto a

x

$x$ y luego con respecto a

x^{'}

$x'$ , obtenemos precisamente el conmutador de densidades, siempre que

ρ (X) = \frac{1}{2 π} \partial_{X} φ (X)

$\rho(x)=\frac{1}{2\pi}\partial_{x}\varphi(x)$ Hasta ahora, todo bien. Que uno ve eso

[ρ (X), ψ (X^{'})] = - ψ (X) d (X - X^{'})

$[\rho(x), \psi(x')]=-\psi(x)\delta(x-x')$ Para satisfacer esta relación de conmutación tenemos que hacer una conjetura inteligente. Es decir, si se supone

ψ (x) = e^{i φ (x)}

$\psi(x)=e^{i\varphi(x)}$ , es fácil demostrar que efectivamente se cumple el álgebra. Estoy bastante satisfecho con todo a estas alturas, parece que hemos encontrado una transformación canónica y bla-bla-bla. Lo que normalmente se afirma en la literatura que

H = v \int_{0}^{2 π} ψ^{†} (X) (- i \partial_{X}) ψ (X) d X = \frac{v}{4 π} \int_{0}^{2 π} (\partial_{X} φ (X))^{2} d X

$\mathcal{H}=v\int_{0}^{2\pi}\psi^{\dagger}(x)(-i\partial_{x})\psi(x)dx=\frac{v}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}(\partial_{x}\varphi(x))^{2}dx$ Y este es un lugar donde me quedo atascado. Entonces

ψ^{†} (X) (- i \partial_{X}) ψ (X) = {mi}^{- i φ (X)} (- i \partial_{X}) {mi}^{i φ (X)} = {mi}^{- i φ (X)} (\partial_{X} φ (X)) {mi}^{i φ (X)} = {mi}^{- i [φ (X), \cdot]} \partial_{X} φ (X) = ?

$\psi^{\dagger}(x)(-i\partial_{x})\psi(x)=e^{-i\varphi(x)}(-i\partial_{x})e^{i\varphi(x)}=e^{-i\varphi(x)}(\partial_{x}\varphi(x))e^{i\varphi(x)}=e^{-i[\varphi(x), \cdot]}\partial_{x}\varphi(x)=?$ es decir cual es el conmutador

[\partial_{x} φ (x), φ (x)]

$[\partial_{x}\varphi(x), \varphi(x)]$ ? ¿Tiene sentido? En esta expresión también se puede escribir

(\partial_{X} φ (X)) {mi}^{i φ (X)} = 2 π ρ (X) ψ (X) = 2 π ρ (X) ψ (X^{'}) |_{X^{'} = X} = 2 π ψ (X^{'}) ρ (X) |_{X^{'} = X} - 2 π ψ (X) d (X - X^{'}) |_{X^{'} = X} = 2 π ψ (X) ρ (X) + ? = {mi}^{i φ (X)} \partial_{X} φ (X) + ?

$(\partial_{x}\varphi(x))e^{i\varphi(x)}=2\pi\rho(x)\psi(x)=2\pi\rho(x)\psi(x')\big{|}_{x'=x}=2\pi\psi(x')\rho(x)\Big{|}_{x'=x}-2\pi\psi(x)\delta(x-x')\Big{|}_{x'=x}=2\pi\psi(x)\rho(x)+?=e^{i\varphi(x)}\partial_{x}\varphi(x)+?$ ¿Qué estoy haciendo mal?

Kiryl Pesotski

Y, si uno se pregunta acerca de la divergencia del valor esperado de la densidad, es singular en el sentido

\bar{ρ (x)} =< ψ^{†} (x) ψ (x) >= lim_{δ \to 0} < ψ^{†} (x) ψ (x + δ) >= lim_{δ \to 0} (\frac{1}{2 π i δ} + O (1))

$\bar{\rho(x)}=<\psi^{\dagger}(x)\psi(x)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}<\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}\Big(\frac{1}{2\pi{i}\delta}+\mathcal{O}(1)\Big)$ . Entonces, la redefinición rigurosa del ordenamiento normal es

: ψ^{†} (x) ψ (x) := lim_{δ \to 0} (ψ^{†} (x) ψ (x + δ) - \frac{1}{2 π i δ})

$:\psi^{\dagger}(x)\psi(x):=\lim_{\delta\rightarrow0}(\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)-\frac{1}{2\pi{i}\delta})$

cansado

Puedes echar un vistazo al capítulo 7 de este bonito artículo: arxiv.org/abs/cond-mat/9805275 También estoy bastante seguro de que el libro de Gianmarchi sobre la bosonización cubrirá este punto también en profundidad...

Respuestas (1)

Pregunta sobre bosonización funcional

Y, si uno se pregunta acerca de la divergencia del valor esperado de la densidad, es singular en el sentido $\bar{\rho(x)}=<\psi^{\dagger}(x)\psi(x)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}<\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)>=\lim_{\delta\rightarrow{0}}\Big(\frac{1}{2\pi{i}\delta}+\mathcal{O}(1)\Big)$ . Entonces, la redefinición rigurosa del ordenamiento normal es $:\psi^{\dagger}(x)\psi(x):=\lim_{\delta\rightarrow0}(\psi^{\dagger}(x)\psi(x+\delta)-\frac{1}{2\pi{i}\delta})$
Puedes echar un vistazo al capítulo 7 de este bonito artículo: arxiv.org/abs/cond-mat/9805275 También estoy bastante seguro de que el libro de Gianmarchi sobre la bosonización cubrirá este punto también en profundidad...

David Bar Moshé · Answer 1

Básicamente estoy siguiendo el primer capítulo de Bosonización de Michael Stone.

A partir de la fórmula de bosonización:

ψ (X) =: {mi}^{i ϕ (X)} :

$\psi(x) = :e^{i\phi(x)}:$ y el hamiltoniano

H = i \int d X ψ_{R}^{†} (X) \partial_{X} ψ_{R} (X)

$H = i \int dx \psi^{\dagger}_R(x) \partial_x \psi_R(x)$

En la bosonización de los términos compuestos, debemos dividir el punto y cuidar el orden normal de acuerdo con:

: {mi}^{i a ϕ (X_{1})} :: {mi}^{i b ϕ (X_{2})} :=: {mi}^{i a ϕ (X_{1}) + i b ϕ (X_{2})} : {mi}^{a b registro (X_{1} - X_{2})}

$:e^{ia\phi(x_1)}::e^{ib\phi(x_2)}: =:e^{ia\phi(x_1)+ib\phi(x_2)}:e^{ab\log{(x_1-x_2)}}$

Así tenemos:

\begin{aligned} ψ_{R}^{†} (X) \partial_{X} ψ_{R} (X) & = \underset{X^{'} \to X}{límite} : {mi}^{- i ϕ (X^{'})} : \partial_{X} : {mi}^{i ϕ (X)} : \\ = \underset{X^{'} \to X}{límite} : {mi}^{- i ϕ (X^{'})} :: {mi}^{i ϕ (X)} : i \partial_{X} ϕ (X) \\ = \underset{X^{'} \to X}{límite} (X^{'} - X)^{- 1} : {mi}^{- i ϕ (X^{'}) + i ϕ (X)} : i \partial_{X} ϕ (X) \\ = \underset{X^{'} \to X}{límite} (X^{'} - X)^{- 1} (1 - i (X^{'} - X) \partial_{X} ϕ (X) + O ((X^{'} - X)^{2})) i \partial_{X} ϕ (X) \\ = \underset{X^{'} \to X}{límite} \frac{i}{X - X_{1}} + \partial_{X} ϕ (X) \partial_{X} ϕ (X) + O (X^{'} - X) \end{aligned}

$\begin{align*} \psi^{\dagger}_R(x) \partial_x \psi_R(x) & = \lim_{x' \to x} :e^{-i \phi(x')}: \partial_x :e^{i \phi(x)}:\\ &= \lim_{x' \to x} :e^{-i \phi(x')}: :e^{i \phi(x)}:i \partial_x \phi(x)\\ &=\lim_{x' \to x} (x'-x)^{-1}:e^{-i \phi(x') + i \phi(x)}: i \partial_x \phi(x)\\ &= \lim_{x' \to x} (x'-x)^{-1} \Big(1 - i (x'-x) \partial_x \phi(x) + O((x'-x)^2)\Big)i \partial_x \phi(x)\\ & = \lim_{x' \to x}\frac{i}{x-x_1}+ \partial_x \phi(x) \partial_x \phi(x) + O(x'-x) \end{align*}$ El término singular es atendido por el ordenamiento normal del lado derecho: Así obtenemos:

H = i \int d X (ψ_{R}^{†} (X) \partial_{X} ψ_{R} (X) = i \int d X : (\partial_{X} ϕ (X))^{2} :

$H = i \int dx (\psi^{\dagger}_R(x) \partial_x \psi_R(x) = i \int dx :( \partial_x \phi(x))^2 :$

Actualización: prueba de la identidad de pedido normal:

: {mi}^{i a ϕ (X_{1})} :: {mi}^{i b ϕ (X_{2})} := {mi}^{i a ϕ_{-} (X_{1}) + i a ϕ_{+} (X_{1})} {mi}^{i b ϕ_{-} (X_{2}) + i b ϕ_{+} (X_{2})}

$:e^{ia\phi(x_1)}::e^{ib\phi(x_2)}: = e^{ia\phi_{-}(x_1)+ia \phi_{+}(x_1)} e^{ib\phi_{-}(x_2)+ib \phi_{+}(x_2)}$

dónde $\phi_{+}$ contiene sólo operadores de creación y $\phi_{-}$ Operadores de aniquilación. Para ordenar normalmente la expresión, necesitamos conmutar entre el segundo y el tercer término.

Uso de Campbell-Baker-Hausdorff (CBH)

{mi}^{A} {mi}^{B} = {mi}^{A + B} {mi}^{[A, B] / 2}

$e^{A} e^{B} = e^{A+B} e^{[A, B]/2}$

(para $[A, B] = const.$ )

Los modos relevantes de la expansión de modo

ϕ_{-} (X) = \sum_{norte > 0} \sqrt{\frac{2}{norte}} a_{norte} {mi}^{- \frac{norte X}{L}}

$\phi_{-}(x)= \sum_{n>0} \sqrt{\frac{2}{n}} a_n e^{-\frac{nx}{L}}$

ϕ_{+} (X) = \sum_{norte > 0} \sqrt{\frac{2}{norte}} a_{norte}^{†} {mi}^{\frac{norte X}{L}}

$\phi_{+}(x)= \sum_{n>0} \sqrt{\frac{2}{n}} a_n^{\dagger}e^{\frac{nx}{L}}$

$L$ es la longitud de la caja de cuantización que eventualmente se llevará al infinito

Usando

[a_{norte}, a_{metro}^{†}] = d_{metro norte}

$[a_n, a_m^{\dagger}] = \delta_{mn}$ Obtenemos:

[ϕ_{-} (X_{1}), ϕ_{+} (X_{2})] = 2 \sum_{norte > 0} \frac{1}{norte} {mi}^{- \frac{norte (X_{1} - X_{2})}{L}} = 2 registro (1 - {mi}^{- \frac{(X_{1} - X_{2})}{L}}) \to_{L \to \infty} 2 registro (X_{1} - X_{2}) + C o norte s t .

$[\phi_{-}(x_1), \phi_{+}(x_2)] = 2\sum_{n>0}\frac{1}{n}e^{-\frac{ n(x_1-x_2)} {L} } = 2 \log(1-e^{-\frac{ (x_1-x_2)} {L} })\rightarrow_{L\to \infty} 2\log(x_1-x_2) + \mathrm{const.}$

¡Eso tiene mucho sentido en este momento, muchas gracias por su respuesta y su referencia!
¿Puede por favor dar una prueba de la declaración $:e^{ia\varphi(x)}::e^{ib\varphi(x')}:=:e^{ia\varphi(x)+ib\varphi(x')}:e^{iab\ln(x-x')}$ ?
¿Podría dar más detalles sobre la última línea de su derivación? Es $x_1 \equiv x'$ ? Por que $(x'-x)^{-1} \partial_x \phi = 1/(x-x')$ ?

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Kiryl Pesotski

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