Relación de bosonización y conmutación

Tengo una discusión reciente sobre este problema.

Déjeme suponer que ya tiene el valor esperado del anticonmutador de tiempo igual

$$\begin{equation} \langle \{ \psi( x ) , \psi^{\dagger}( x' ) \} \rangle = \langle :e^{i \phi(x) }:, :e^{ -i \phi(x' )} :\rangle = i \delta( x - x' ) \end{equation}$$ Esto se puede establecer, por ejemplo, mediante la continuación analítica del correlador del bosón euclidiano $\ln | z_1 - z_2|$con $t = i \epsilon$formalismo de truco o de operador.

Para un solo oscilador tenemos

$$\begin{equation} :e^A: :e^B: = :e^{A+B}: e^{\langle A B \rangle } \end{equation}$$ generalizando esto al operador de vértice $$\begin{equation} \begin{aligned} \{:e^{i \phi(x) }:, :e^{ -i \phi(x' )} :\} &= (e^{\langle \phi(x) \phi(x') \rangle } + e^{\langle \phi(x') \phi(x) \rangle }):e^{i (\phi(x) - \phi( x' )) }: \\ &= \langle :e^{i \phi(x) }:, :e^{ -i \phi(x' )} :\rangle : e^{i (\phi(x) - \phi( x' )) }:\\ &= i \delta( x - x' ) e^{i (\phi(x) - \phi( x' )) }\\ &= i \delta( x - x' ) \end{aligned} \end{equation}$$ La última línea es una forma inesperada de reducir un operador a un número c.