¿Cómo derivar esta suma de Matsubara, tal como se presenta en Wikipedia?

En la página de Wikipedia para las frecuencias de Matsubara , se presenta la siguiente fórmula,

∑ i ω norte ( i ω norte ) 2 ( i ω norte ) 2 − ξ 2 = − ξ 2 ( 1 − 2 norte DF ( ξ ) ) ,
dónde ω norte = ( 2 norte + 1 ) π / β son frecuencias fermiónicas de Matsubara y norte DF ( X ) := ( mi β X + 1 ) − 1 es la función de distribución de Fermi-Dirac.

Estoy familiarizado con el teorema del residuo y puedo derivar resultados 'más fáciles' que involucran sumas de Matsubara. Sin embargo, en este caso no veo cómo derivar el resultado. Supongo que es necesario incluir el factor convergente habitual mi i ω norte η con η → 0 al final del cálculo, de lo contrario la suma ni siquiera convergería. Cualquier ayuda o referencia sería apreciada.

La razón por la que pregunto esto es porque en realidad quiero evaluar una suma de Matsubara de la forma

∑ i ω norte ( i ω norte ) 2 ( i ω norte − ξ 1 ) ( i ω norte − ξ 2 ) .

Respuestas (1)

Resulta que estaba pasando por alto algo obvio. Mi razonamiento fue: hay dos polos ubicados en i ω norte = ± ξ , ¿cómo es que solo hay una distribución de Fermi-Dirac evaluada en un polo? usando la identidad norte DF ( − X ) = 1 − norte DF ( X ) resuelve este problema. Indicando los pasos habituales con puntos (pasar al plano complejo; cerrar el contorno adecuadamente, etc.), se obtiene

∑ i ω norte ( i ω norte ) 2 ( i ω norte ) 2 − ξ 2 = ∑ i ω norte ( i ω norte ) 2 ( i ω norte − ξ ) ( i ω norte + ξ ) = … = ξ 2 2 ξ norte DF ( ξ ) + ξ 2 − 2 ξ norte DF ( − ξ ) = − ξ 2 ( 1 − 2 norte DF ( ξ ) )

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