Transformación Jordan-Wigner vs Bosonización

Tomo una postura diferente a la de Qmechanic: la bosonización es 'simplemente' la versión continua de la transformación de Jordan-Wigner . Por supuesto, Qmechanic tiene razón en que las teorías de campos son mucho más sutiles que las teorías de redes. Sin embargo, el hecho de que JW sea tan simple no significa que no sea relevante cuando se piensa en la bosonización, de hecho, ocurre lo contrario: hace que la bosonización sea mucho más fácil de seguir, como por ejemplo discutido por Fisher y Glazman .

Para hacer mi afirmación más concreta, diría que el siguiente diagrama conmuta :

$$\begin{array}{ccc} \textrm{fermionic chain} & \xrightarrow{\textrm{Jordan-Wigner}} & \textrm{spin chain} \\ \downarrow \small \textrm{continuum} & \circlearrowleft & \downarrow \small \textrm{continuum} \\ \textrm{fermionic field theory} & \xrightarrow{\textrm{bosonization}} & \textrm{bosonic field theory} \end{array}$$

(donde en el caso de espín, el límite continuo se tomaría utilizando integrales de trayectoria de estado coherente de espín)

Por supuesto, uno podría terminar con diferentes descripciones de la teoría de campos, pero describirían la misma teoría de campos. Más exactamente, hay un mapeo local que relaciona uno con el otro.

Como ejemplo, comencemos en cambio con una cadena de espín. En particular, tome el hilado sin espacios$\frac{1}{2}$Hamiltoniano de Heisenberg$H = \sum \mathbf S_n \mathbf{\cdot S}_{n+1}$. Después:

$$\begin{array}{ccc} \textrm{interacting fermions} & \xleftarrow{\textrm{Jordan-Wigner}} & H = \sum \mathbf S_n \mathbf{\cdot S}_{n+1} \\ \downarrow \small \textrm{continuum} & \circlearrowleft & \downarrow \small \textrm{continuum} \\ \textrm{interacting fermionic field theory} & \xrightarrow{\textrm{bosonization}} & \begin{array}{c} \textrm{Wess-Zumino-Witten }SU(2)_1 \\ || \\ \textrm{Luttinger liquid $K=\frac{1}{2}$ } \end{array} \end{array}$$ (donde la descripción LL proviene de la bosonización y la descripción WZW proviene del límite continuo del modelo de espín) y ambas teorías de campo resultantes son de hecho equivalentes después de una reidentificación local de operadores. En particular, tienen las mismas dimensiones de escala para los operadores locales, por ejemplo, la dimensión de escala más pequeña para WZW $SU(N)_1$es $\frac{N-1}{N} = \frac{1}{2}$y para el LL es $\frac{1}{4K} = \frac{1}{2}$.

I.1) Transformación de Jordan-Wigner (JW) . Sea dada una álgebra bosónica de Heisenberg de relaciones canónicas de conmutación (CCR)

$$[a_i,a_j^{\dagger}] ~=~\delta_{ij} {\bf 1}, \qquad [a_i,a_j] ~=~0, \qquad [a_i^{\dagger},a_j^{\dagger}] ~=~0, \qquad i,j~\in~\{1,\ldots, N\},\tag{1}$$

$$n_i~\equiv~a^{\dagger}_i a_i \qquad\qquad\text{(no sum over $i$)}. \tag{2}$$

Después

$$[n_i, a_j]~=~-\delta_{ij}a_j, \qquad [n_i, a^{\dagger}_j]~=~\delta_{ij}a^{\dagger}_j,\tag{3}$$ $$\{(-1)^{n_i}, a_i\}_+ ~=~ 0, \qquad\{(-1)^{n_i}, a^{\dagger}_i\}_+ ~=~ 0, \qquad\qquad\text{(no sum over $i$)};\tag{4}$$

$$[(-1)^{n_i}, a_j] ~=~ 0, \qquad [(-1)^{n_i}, a^{\dagger}_j] ~=~ 0, \qquad\text{if}\qquad i~\neq ~j .\tag{5}$$

I.2) La transformación JW se define como

$$c_k ~\equiv~ (-1)^{\sum_{i=1}^{k-1}n_i} a_k, \qquad c_k^{\dagger} ~\equiv~ (-1)^{\sum_{i=1}^{k-1}n_i} a_k^{\dagger}, \qquad n_k~=~c^{\dagger}_k c_k. \tag{6}$$

Entonces tenemos un álgebra fermiónica de Heisenberg de relaciones canónicas de anticonmutación (CAR)

$$\{c_k,c_{\ell}^{\dagger}\}_+ ~=~\delta_{k\ell} {\bf 1}, \qquad \{c_k,c_{\ell}\}_+ ~=~0, \qquad \{c_k^{\dagger},c_{\ell}^{\dagger}\}_+ ~=~0, \qquad k,\ell~\in~\{1,\ldots, N\}.\tag{7}$$

II.1) Fermionización . Aquí solo discutiremos el prototipo más simple. Que se dé un bosón quiral/holomórfico $\varphi(z)$en euclidiana 2D CFT con OPE

$${\cal R} \varphi(z) \varphi(w)~\sim~-{\bf 1}~{\rm Ln}(z-w),\qquad z,w~\in~\mathbb{C}; \tag{8}$$

con corriente de momento primario

$$j ~\equiv~i\partial \varphi ;\tag{9}$$

y con tensor quiral de tensión-energía-momento (SEM)

$$T~\equiv~ \frac{1}{2} :j^2:~ .\tag{10}$$ Las relaciones de conmutador de radio igual bosónico se leen

$$[\varphi(z),\varphi(w)]~=~-i\pi {\bf 1}~{\rm sgn}(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| ,\tag{11}$$

$$[j(z),\varphi(w)]~=~2\pi {\bf 1}~\delta(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| .\tag{12}$$

II.2) Los fermiones quirales/holomórficos se definen mediante el operador de vértice

$$\psi_{\pm} ~\equiv~ :e^{\pm\varphi}:~;\tag{13}$$ con número actual

$$j~\equiv~\pm :\psi_{\pm}\psi_{\mp}:~;\tag{14}$$

y con tensor SEM quiral

$$T~\equiv~\frac{1}{2}:\psi_{\pm} \stackrel{\leftrightarrow}{\partial} \psi_{\mp}:~.\tag{15}$$

Las OPE se convierten

$${\cal R} \psi_{\pm}(z)\psi_{\mp}(-z)~=~ \frac{\bf 1}{2z} ~\pm~ j(0) ~+~2z ~T(0) ~+~{\cal O}(z^2), \tag{16}$$

$${\cal R} \psi_{\pm}(z)\psi_{\pm}(-z)~=~2z ~{\bf 1} ~+~{\cal O}(z^2) .\tag{17}$$ Las relaciones fermiónicas de anticonmutador de igual radio se leen

$$\{ \psi_{\pm}(z),\psi_{\mp}(w)\}_+~=~ 2\pi i{\bf 1} ~\delta(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w|, \tag{18}$$ $$\{ \psi_{\pm}(z),\psi_{\pm}(w)\}_+ ~=~0 \qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w|.\tag{19}$$

Para$\arg z\neq \arg w$, las ecs. (18/19) sigue directamente de las ecs. (11), (13) y la fórmula BCH truncada :

$$e^Ae^B~=~e^{C}e^Be^A, \qquad C~\equiv[A,B], \qquad \text{if}\qquad [A,C]~=~0~=~[B,C]. \tag{20}$$

La función delta en la ec. (18) se sigue del polo simple en la ec. (dieciséis).

Las relaciones de conmutador de radio igual bosónico se leen

$$[\varphi(z),\psi_{\pm}(w)]~=~\pm \pi ~{\rm sgn}(\arg z- \arg w)~\psi_{\pm}(w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| ,\tag{21}$$ $$[j(z),\psi_{\pm}(w)]~=~\pm 2\pi i ~\delta(\arg z- \arg w)~\psi_{\pm}(w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| .\tag{22}$$

III) Interpretamos la pregunta principal de OP de la siguiente manera.

¿Puede la fermionización (18/19) con$(j, \psi_+, \psi_-)$demostrarse a través de la transformada JW (7) con$(n_k, c_k, c^{\dagger}_k)$?

Respuesta: Claramente existe una analogía entre el modelo discreto y el continuo. Sin embargo, la transformada JW (7) es una trivialidad, mientras que la fermionización (18/19) es un resultado no trivial en la teoría de distribución con valores de operador. No vale la pena el esfuerzo de perseguir una trivialidad en una prueba sofisticada.

IV) Tenga en cuenta que un solo bosón quiral/holomórfico es solo una entrada prototipo para la fermionización (18/19). Se puede rotar con mecha al plano 1+1D Minkowski. También hay una versión antiquiral/antiholomórfica. También hay diferentes versiones según la topología/condiciones de contorno. En el caso de varios bosones quirales, se necesitan prefactores de cociclo a menudo basados ​​en la transformación de JW/ Klein .

V) No existe un análogo de dimensión superior de la fermionización per se, aunque, por ejemplo , la famosa teoría de supercuerdas descompone la$10=5\times 2$espacio objetivo euclidiano dimensional en un producto de 5 planos 2D, y aplica la fermionización en cada plano 2D.

Referencias:

1. S. Mandelstam, operadores de Solitón para la ecuación de seno-Gordon cuantificada, Phys. Rev. D 11 (1975) 3026 .

2. J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 2, 1998; pags. 11-12.