Hamiltoniano fermiónico: preguntas sobre la transformación de Bogoliubov y la hermiticidad

En la sección 2.A.2 de Quantum Ising Phases and Transition in Transverse Ising Models de Suzuki, et. Alabama. los autores dan lo siguiente en su derivación de la transformación de Bogoliubov para un hamiltoniano

H = ∑ i j C i † A i j C j + 1 2 ∑ i j C i † B i j C j †

con A hermitiano y B antisimétrico, y C i Operadores fermiónicos.

Se hace una transformación lineal de la forma

η q = ∑ i ( gramo q i C i + h q i C i † )

η q † = ∑ i ( gramo q i C i † + h q i C i )

dónde gramo q i y h q i puede ser elegido para ser real. Para η q para satisfacer las relaciones de anticonmutación fermiónicas requerimos

∑ i ( gramo q i gramo q ′ i + h q i h q ′ i ) = d q q ′
∑ i ( gramo q i h q ′ i − gramo q ′ i h q i ) = d q q ′

Mis preguntas son las siguientes:

  1. Veo por qué, si B = 0 , A ser una matriz hermítica asegura que H es un operador hermitiano. Pero, no veo cómo este hamiltoniano es hermitiano para distinto de cero B .

  2. no veo como la segunda ecuacion

    ∑ i ( gramo q i h q ′ i − gramo q ′ i h q i ) = d q q ′
    sigue. Puedo ver que si viene de [ η q , η q ′ ] + = 0

Pero, cuando hago el cálculo de [ η q , η q ′ ] + Yo obtengo:

[ η q , η q ′ ] + = [ ∑ i ( gramo q i C i + h q i C i † ) , ∑ j ( gramo q ′ j C j + h q ′ j C j † ) ] + = ∑ i j gramo q i gramo q ′ j [ C i , C j ] + + gramo q i h q ′ j [ C i , C j † ] + h q i gramo q ′ j [ C i † , C j ] + + h q i h q ′ j [ C i † , C j † ] +

Entonces, usando, eso [ C i , C j ] + = [ C i † , C j † , ] + = 0 y [ C i , C j † ] + = [ C i † , C j ] + = d i j I , obtenemos

∑ i ( gramo q i h q ′ i + gramo q ′ i h q i ) = d q q ′

que está en conflicto con la ecuación anterior. Podría ver la siguiente ecuación si tuviéramos relaciones de conmutación, pero estamos hablando específicamente de operadores fermiónicos. ¿Dónde me estoy equivocando? ¿El libro está haciendo accidentalmente el caso Bosonic?

Respuestas (1)

Encontré las respuestas que estaba buscando. Respondiendo mis preguntas en orden tenemos:

  1. El hamiltoniano no es hermitiano como está escrito. omití el h . C . al final, porque no sabía lo que significaba y asumí que era irrelevante. Resulta que era extremadamente relevante porque significaba "hermtiano conjugado", lo que significa que añadimos el hermitiano conjugado de lo que está escrito. Hacer esto hace que el hamiltoniano sea hermitiano.

  2. Mi cálculo es correcto. El resultado en el libro proviene de este artículo . El documento da mi resultado, que en realidad es el resultado utilizado en el resto de la derivación.

Si está utilizando este libro, tenga en cuenta que, al menos en esta sección, hay numerosos errores tipográficos. Debajo de esta derivación los autores escriben

[ η q , H ] + − ω q η q = 0

cuando quieren decir

[ η q , H ] − ω q η q = 0

y luego se refieren a una ecuación cuando significan otra. Sé consciente.

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