¿La cuantización del oscilador armónico es única?

Para decirlo un poco mejor:

¿Hay más de un sistema cuántico, que termina en el oscilador armónico clásico en el límite classial?

Estoy específicamente, pero no solo, interesado en una elaboración en términos de cuantización de deformación.

Por cuantización de deformación, ¿te refieres a un tipo diferente (¿parametrizado?) De homomorfismo?
@AntillarMaximus Compare mi respuesta aquí: physics.stackexchange.com/a/7591/667

Respuestas (3)

Para cada hamiltoniano clásico H ( pags , q ) hay infinitos sistemas cuantizados que se reducen a él en el límite clásico.

La razón es que sumando a H ( pags , q ) un número arbitrario de expresiones en pags y q donde al menos un factor es un conmutador no cambia el sistema clásico pero cambia la versión cuántica. Para ser específicos, tomemos, por ejemplo, H ′ = H ( pags , q ) + A ( pags , q ) ∗ [ pags , q ] 2 A ( pags , q ) para una expresión arbitraria A ( pags , q ) .

Esto es válido para los sistemas en los que pags y q son variables canónicamente conjugadas. Es fácil generalizar el argumento a sistemas cuánticos arbitrarios.

En breve:

La cuantificación de sistemas individuales es un proceso mal definido.

La cuantización geométrica está mejor definida, ya que no cuantifica de manera efectiva un sistema particular sino un grupo particular de simetrías. En el caso anterior, muestra cómo pasar de la clásica pags y q (es decir, del álgebra de Lie clásica de Heisenberg con el corchete de Poisson como producto de Lie) a la versión cuántica, pero no cómo pasar de un hamiltoniano clásico particular (y por lo tanto de un sistema clásico particular) a su cuantización.

por que?? Produce un observable cuántico para cada expresión clásica en los generadores del grupo. Pero diferentes expresiones para la misma función clásica de p y q producen diferentes cuantizaciones: esta es la ambigüedad de orden que siempre afectó a la cuantización de los sistemas clásicos.
Lo siento, tuve problemas con la publicación/edición. "pero no cómo pasar de un hamiltoniano clásico particular (y, por lo tanto, de un sistema clásico particular) a su cuantización". Esto no es exactamente cierto, ya que la cuantización geométrica produce un operador cuántico para cada observable clásico. F , que actúa como ψ → − i ℏ ∇ X F ψ + F ψ . En el ejemplo particular del oscilador armónico se obtiene por esta ecuación el operador H = ℏ ω a \deger a - el cuántico sin energía de punto cero (que está sujeto a la llamada corrección metapléctica).
Por supuesto, uno puede inventar una receta y llamarla "la" cuantización. Pero tiene propiedades canónicas sólo para F en el álgebra de Lie en la que se basa la construcción. Si desea más discusión, proporcione una referencia en línea, para que tengamos puntos en común.
La referencia estándar es "Woodhouse: cuantificación geométrica", wikipedia y nlab tienen algunos datos al respecto en línea en ncatlab.org/nlab/show/geometric+quantization . Como puede ver, el primer paso en la cuantificación geométrica (llamada precuantificación) produce un operador cuántico para cada uno. observable clásico. Pero el Hilbertspace construido es demasiado grande (las funciones de onda dependen de q y pags simultáneamente), por lo que hay que introducir una "polarización" y posteriormente una corrección metapléctica. Como esto se hace de forma geométrica (variedades,...), las coordenadas q y pags no juega ningún papel.
No tengo woodhouse, y nlab es demasiado abstracto para mi gusto. Supongo que la ambigüedad del orden se muestra en la falta de una polarización canónica.
Han pasado 10 años, así que aceptaré esa respuesta ahora :)

1) Hay muchos sistemas cuánticos no equivalentes que tienen el mismo límite clásico ℏ → 0 .

2) Por ejemplo, suponga por simplicidad que el sistema cuántico se describe mediante un solo par de operadores de creación y aniquilación,

[ a ^ , a ^ † ]   =   ℏ 1 , a ^   =   metro ω 2 ( q ^ + i pags ^ metro ω ) .
La lectura hamiltoniana del oscilador armónico cuántico estándar
H ^   =   ω ( a ^ † a ^ + ℏ 2 ) .
Podemos, por ejemplo, añadir cualquier término de la forma ℏ PAGS ( a ^ † a ^ , ℏ ) (dónde PAGS es un polinomio) al hamiltoniano H ^ sin afectar el límite clásico. En particular, podemos desplazar el término de energía de punto cero.

1. ¡Su fórmula no solo cambia la energía de punto cero del sistema sino que produce una transformación no lineal del espectro! - 2. Incluso se puede agregar cualquier término de la forma ℏ PAGS ( a ˆ ∗ a ˆ , a + a ∗ , ℏ ) , por lo tanto, producen osciladores anarmónicos arbitrarios, y todavía se reducen al oscilador armónico clásicamente. Escritura ℏ como conmutador, esto se convierte esencialmente en la declaración en mi propia respuesta.
Un desplazamiento constante (proporcional a ℏ ) en el término de energía de punto cero corresponde a un polinomio constante (de orden cero) PAGS . De hecho, se pueden agregar más polinomios generales al hamiltoniano que los indicados en la respuesta (v2).

Esta no es una respuesta completa a su pregunta, pero la cuantización del oscilador armónico significa la cuantización del espacio proyectivo complejo C PAGS norte (como espacio de fase reducido del sistema).

En el contexto de la cuantificación de la deformación, puede echar un vistazo al artículo A Remark on Nonequivalent Star Products via Reduction for CP^n de Stefan Waldmann, disponible en Arxiv aquí , donde los productos estelares no equivalentes de C PAGS norte son discutidos.

Enlace también disponible en arxiv.org/abs/math/9802078
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