En mecánica cuántica, ¿cómo asociamos exactamente los operadores hermitianos con los observables clásicos? [duplicar]

No existe ningún procedimiento para asociar unívocamente un operador Hermitiano$L$a una función del espacio de fases$f(x,p)$. La mecánica cuántica es una teoría que existe independientemente de la física clásica. La mecánica cuántica no es solo la guinda de un pastel clásico que necesita de la teoría clásica para existir en todo momento. Si queremos definir una teoría cuántica, debemos definir una teoría cuántica. La definición no implica encontrar primero una teoría clásica y luego encontrar una teoría cuántica única asociada con ella.

Más seriamente, no hay isomorfismo natural entre el álgebra de operadores en el espacio de Hilbert; y el álgebra de funciones$f(x,p)$. La razón más simple es que la última es un álgebra conmutativa mientras que la primera no lo es. Por esta sencilla razón, una identificación ingenua de los elementos en ambos lados simplemente tiene que ser incorrecta.

La relación correcta entre la mecánica cuántica y la física clásica, siempre que ambas puedan ser relevantes, es exactamente la opuesta: la física clásica se deriva de la mecánica cuántica. Se deriva como un límite, el$\hbar\to 0$límite. Pero incluso esta relación no es del todo universal. Existen teorías cuánticas sin ningún límite clásico.

Podemos preguntarnos cuáles son los operadores hermitianos$L$tal que su$\hbar\to 0$límite produce una función dada$f(x,p)$en el espacio de fases. Pero la respuesta no es única. Las posibles soluciones pueden diferir por términos que van a cero para$\hbar\to 0$.

Por ejemplo, el observable clásico$x^2 p^2$podría "generar" el operador cuántico$\hat x^2 \hat p^2$. Sin embargo, el último operador no es hermitiano. Su conjugado hermitiano es$\hat p^2 \hat x^2$que no es igual al original. Si queremos un operador hermitiano, podemos hablar de, por ejemplo,

$$\frac{ \hat x^2\hat p^2+ \hat p^2\hat x^2}{2}$$ pero también, por ejemplo, sobre $$\hat x \hat p^2 \hat x$$ Ambos son hermitianos y se reducen ingenuamente a lo clásico. $x^2 p^2$. Sin embargo, estos dos operadores hermitianos son diferentes entre sí. Se diferencian por un múltiplo numérico de $\hbar^2$, en este caso.

Por otro lado, expresiones como sus funciones complicadas, pero con sombreros, están bien definidas y son calculables (posiblemente excepto por la singularidad en$x=0$y$p=-1$en el caso de su función particular). Por ejemplo, la exponencial de un operador se puede calcular a través de la serie de Taylor

$$\exp(\hat L) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\hat L^n}{n!}$$ Incluso se pueden calcular funciones de operadores más complicadas. La función $g(\hat L)$de un operador $\hat L$puede calcularse, por ejemplo, diagonalizando $\hat L$es decir, escribir $$\hat L = U \hat D U^\dagger$$ dónde $D$es diagonal. Después $$g(\hat L) = U g(\hat D) U^\dagger$$ Sin embargo, $g(\hat D)$es simple de calcular: simplemente aplicamos la función $g$a cada elemento diagonal de $\hat D$.

Por esta razón, incluso su función define un operador, excepto por los problemas de singularidad cerca de$x=0$y$p=-1$. Bueno, también debemos refinar lo que quieres decir con$p/x$– no existe una división simple de operadores. Si lo defines como$px^{-1}$, es algo más que$x^{-1}p$etc. porque los operadores no viajan.

Sin embargo, está claro que, aparte de todos estos pequeños detalles, su operador no será hermitiano porque$\hat x+\hat x\hat p$no es hermitiano y$\hat x^2 \hat p$no es hermitiano y su seno tampoco es hermitiano. Tendría que tomar la(s) parte(s) hermítica(s) en algún momento para corregir la hermiticidad, pero no habría una forma única de hacerlo, como se explicó anteriormente.

No existe una forma natural de encontrar un operador para una función.$f(x,p)$que viene dado por sus valores, es decir, sin fórmula explícita. Esto es particularmente manifiesto si imaginamos que cada$f(x,p)$es una superposición continua de funciones tales como$\delta(x-x_0)\delta (p-p_0)$soportado por un punto en el espacio de fase.

Este$\delta(x-x_0)\delta (p-p_0)$no tiene una buena contrapartida cuántica porque quiere estar localizada tanto en posición como en momento. Pero el principio de incertidumbre prohíbe tal localización. Se podría asociar una gaussiana de incertidumbre mínima con este producto de las funciones delta, pero en realidad no es una "elección canónica".

Si sacrificamos la mayoría de las propiedades algebraicas, existe un mapa uno a uno entre las funciones y las matrices, las matemáticas utilizadas en la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner . Pero este mapa tiene algunas otras propiedades que uno puede encontrar indeseables. El producto se asigna al "producto estrella". Además, un operador definido positivo se asigna genéricamente a una función que se vuelve negativa para algunos valores de$(x,p)$, y así.