¿Por qué no existe una "receta" única para la cuantización de una teoría clásica?

1. Invierta la carga : ¿Por qué debería haber un método de cuantificación único? La teoría clásica es un límite de la teoría cuántica, ¿por qué este límite debería ser reversible? Es como pedirle a la termodinámica que sea recuperable desde un límite de temperatura cero (o cualquier otro), o el$\mathbb{R}^{6N}$Dinámica del espacio de fase para ser recuperable del límite termodinámico.$N\to\infty$. No hay razón para esperar que la teoría completa esté codificada en uno de sus límites, de hecho, no hay razón para que esperemos la existencia de un método de cuantización , y mucho menos uno único.

2. La cuantificación está obstruida : se supone que una "cuantización" es una asignación de operadores hermitianos en un espacio de Hilbert a observables clásicos en el espacio de fase, es decir, un mapa$f(x,p)\mapsto \hat{f}$. El teorema de Groenewold-van Hove dice que no existe un mapa tal que

   1. $f\mapsto \hat{f}$es lineal.
   2. $[\hat{f},\hat{g}] = \mathrm{i}\hbar\widehat{\{f,g\}}$se mantiene para todos los observables$f,g$.
   3. Los observables que conmutan con todo son múltiplos de la identidad, lo que significa que la representación del álgebra de observables es irreducible.
   4. $p(\hat{f}) = \hat{p(f)}$para todos los polinomios$p$,

   lo que significa que cada método de cuantificación debe eliminar algunas de estas suposiciones y, por lo general, no es suficiente eliminar solo la cuarta. La cuantización canónica generalmente asume que todo esto funciona de todos modos, y cuando sale mal, se arregla ad hoc. La cuantización de la deformación elimina la cuarta propiedad y hace que la segunda se mantenga solo hasta los términos de orden$\hbar^2$, la cuantificación geométrica en cambio restringe las entradas permitidas$f$al mapa de cuantización y elimina la cuarta propiedad.

   Por lo tanto, obtiene naturalmente diferentes métodos de cuantización según las suposiciones que esté dispuesto a sacrificar. De hecho, no se sabe para ninguno de los métodos de cuantificación si son "equivalentes" en un entorno completamente general. Además, esto ni siquiera comienza a cubrir todas las "cuantizaciones" posibles, ya que, por ejemplo, el formalismo de la integral de camino no es un mapa$f\mapsto \hat{f}$. Por desgracia, no se sabe estrictamente si es realmente equivalente al formalismo del operador, pero la mayoría de los casos conocidos parecen no diferir entre los dos formalismos. Para una discusión más larga de ese punto, vea esta pregunta .

En primer lugar, se debe enfatizar que los diferentes enfoques de cuantización de una teoría clásica brindarán diferentes conocimientos. En segundo lugar, un método de cuantificación para un sistema puede ser particularmente ventajoso sobre otros dependiendo de lo que a uno le gustaría manifestar.

Hay un ejemplo prototípico de esto. Consideremos, por ejemplo, la acción de una cuerda clásica,

Incluso entre la cuantificación canónica, hay diferentes indicadores que uno puede elegir y que ofrecerán diferentes perspectivas. El indicador de cono de luz permite llegar al espectro de la cuerda más rápidamente, pero la covarianza de la teoría se manifiesta con el indicador conforme. El medidor de cono de luz es capaz de eliminar el difeomorfismo y las redundancias de Weyl.

Ahora, un segundo enfoque de la cuerda clásica es la cuantificación BRST. Se pueden clasificar los estados como BRST-exactos o BRST-cerrados en el mismo sentido de ser cerrados o exactos para las formas diferenciales y así introducir la cohomología BRST análoga a la cohomología de De Rham.

El espacio físico de Hilbert se identifica con esta cohomología BRST, y es un teorema (probado en 4.4 de Polchinski) que,

es decir, el espacio de Hilbert coincide con el obtenido de la cuantificación canónica y la cuantificación del cono de luz. Por lo tanto, aunque el método BRST tiene algunas ventajas, ofrece una descripción equivalente del sistema.

En cuanto a probar equivalencias en casos más generales, espero que otro miembro de la SE pueda ofrecer ideas.

Las respuestas anteriores son geniales, pero no abordan la última pregunta tuya, así que aquí va.

$-$¿Se pueden usar redes de espín para cuantificar QCD?

$-$ Sólo si está acoplado a la gravedad.

La base de la red de espín es incontable . El espacio del producto interno es, por lo tanto, no separable y no puede describir un sistema mecánico cuántico bien definido.

La hermosa razón por la que esto funciona para la gravedad es porque el núcleo de la restricción de difeomorfismo (apropiadamente cuantificado como un operador en el espacio de la red de espín) de GR es en realidad un espacio de Hilbert separable.$\mathcal{K}$, que suele llamarse espacio cinemático de Hilbert de LQG. En otras palabras, debido a que LQG es independiente del fondo, el "tamaño excesivo" del espacio de producto interno de las redes de espín es solo un indicador, siendo separable el verdadero espacio de Hilbert.

Esto también funcionará para la gravedad +$SU(3)$Sistema Yang-Mills (QCD). Pero no funcionará para QCD en el fondo plano de Minkowski. La independencia de fondo realmente marca la diferencia aquí.