Límite clásico del oscilador armónico cuántico

Question

Límite clásico del oscilador armónico cuántico

djk

El oscilador armónico clásico obedece a una ley de arcoseno en la que la distribución de las posiciones de la partícula en un solo ciclo de tiempo es proporcional a $\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ , $A$ siendo la amplitud.

Hay una ilustración que parece ser bastante común (estoy viendo la figura 2.7b en el libro de Griffiths sobre QM) en la que un alto $n$ El estado propio de energía del oscilador armónico cuántico se superpone a la distribución antes mencionada. Las gráficas de las dos funciones parecen ser similares.

¿Hay alguna prueba de que coincidan en algún sentido en algún límite?

qmecanico

Correcto, clásicamente la conservación de la energía conduce a

ω d t = \frac{d x}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}}

$\omega dt =\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}$ , que se puede interpretar como la distribución de probabilidad

P (x) = \frac{1}{π} \frac{1}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}}

$P(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ . Esa es la figura 2.5b p. 42 en la 1ª edición (1995).

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Límite clásico del oscilador armónico cuántico

Correcto, clásicamente la conservación de la energía conduce a $\omega dt =\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}$ , que se puede interpretar como la distribución de probabilidad $P(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ . Esa es la figura 2.5b p. 42 en la 1ª edición (1995).

sandesh kalantre · Answer 1

no estoy seguro de la $\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ parte de tu aproximación. En el límite asintótico $n \rightarrow \infty$ ,los polinomios de Hermite se comportan de la siguiente manera:

ingrese la descripción de la imagen aquí

La parte del coseno se relaciona con las oscilaciones presentes en la función de onda que son visibles incluso en la figura 2.7b de Griffiths. $(1-\frac{x^2}{2n})^{\frac{-1}{4}}$ parte es el comportamiento clásico y en este caso los gráficos parecen coincidir.

Referencias:

Polinomios de Hermite en Wikipedia

Vea la parte de comportamiento asintótico para la expresión anterior.

¡Gracias! La discrepancia del exponente parece provenir del cuadrado de la función de onda.
@djk Tienes toda la razón. Es la amplitud de probabilidad, no la densidad de probabilidad, lo que es proporcional a la función de Hermite para el QHO

mho · Answer 2

Preferiría acercarme al límite clásico del oscilador armónico usando los "estados coherentes". Los detalles se pueden encontrar en el artículo de Wikipedia correspondiente .

leonelbrit · Answer 3

La prueba se encuentra en el teorema de Ehrenfest, que establece que los valores esperados cuánticos obedecen a ecuaciones clásicas de movimiento (estrictamente, si el potencial cambia lentamente a lo largo de la distancia en la que se localiza la función de onda). Pero tales estados no necesitan parecer clásicos en absoluto (como las funciones superiores de Hermite), por lo que es un poco engañoso. Como señala mho, los estados coherentes tienen un espíritu más cercano al comportamiento clásico y, para el caso especial del oscilador armónico, tienen algunas propiedades agradables.

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qmecanico

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