¿Cuál es la idea detrás de la cuantización canónica?

Tomemos las relaciones canónicas de conmutación (CCR), en su forma exponenciada (relaciones de Weyl):

$$V(\eta)T(q)=e^{-i\eta\cdot q}T(q)V(\eta)\; ,$$

dónde$\{V(\eta)\}_{\eta\in \mathbb{R}^d}$y$\{T(q)\}_{q\in \mathbb{R}^d}$son objetos de un álgebra normada dada con involución. Esta es una noción muy general, que hoy en día se toma como la definición de la CCR. Si tomamos las exponenciales de los operadores de posición y momento$V(\eta)=e^{i\eta\cdot x}$y$T(q)=e^{i q\cdot (-i\nabla_x)}$en$L^2(\mathbb{R}^d)$vemos que satisfacen las relaciones de Weyl, y son objetos de la$C^*$álgebra de operadores acotados en ese espacio.

Ahora empecemos con$W=\{V(\eta), T(q)\}_{\eta, q\in \mathbb{R}^d}$, y construir el$C^*$álgebra$V$eso contiene$W$, es decir$V=\overline{W}$(el cierre de$W$en la norma dada$\lVert \cdot\rVert$de nuestros objetos). Esto se llama RCC$C^*$álgebra. Entonces, como puede ver, el punto de partida es muy abstracto y está dado por este CCR$C^*$álgebra.

Ahora es posible demostrar que cada$C^*$el álgebra tiene al menos una representación fiel como subálgebra de los operadores acotados en algún espacio de Hilbert (la llamada construcción GNS).

Otro resultado notable es el teorema de Stone-von Neumann, que dice que todas las representaciones irreducibles (es decir, tales que el único subespacio invariante bajo la acción de los operadores es el vector cero) del álgebra CCR son unitariamente equivalentes (es decir, relacionadas por una unidad unitaria). transformación) y a su vez equivalente a la representación dada por los operadores habituales de posición y momento en$L^2(\mathbb{R}^d)$di arriba.

Al juntar los resultados, es evidente que es suficiente para dar el álgebra CCR, porque siempre se representa de manera irreductible (excepto isomorfismos unitarios) por los operadores canónicos de posición y momento en$L^2$. Además, el concepto de estados cuánticos está directamente relacionado con el$C^*$álgebra de observables (es un subconjunto de su dual topológico); y los estados normales (un subconjunto del predual del álgebra de von Neumann$V''$, y de los estados cuánticos) están en correspondencia uno a uno con las matrices de densidad en la representación correspondiente.

Con respecto a la evolución y el límite clásico (en relación con la dinámica clásica), estos conceptos se entienden más fácilmente desde el punto de vista del análisis semiclásico, es decir, estudiando la cuantización (Weyl, Wick, anti-Wick) de símbolos clásicos en operadores pseudodiferenciales, y su expansiones semiclásicas. No obstante, la evolución cuántica puede verse como un automorfismo de la$C^*$álgebra de observables (o de los estados cuánticos) que satisface algunos supuestos de regularidad.

Observación : el teorema de Stone-von Neumann solo es válido para relaciones de Weyl de "dimensión finita", es decir, si$\eta,q \in \mathbb{R}^d$(el resultado puede extenderse por la teoría de Mackey a cualquier grupo localmente compacto). Si, por ejemplo, consideramos el álgebra CCR de "infinita dimensión" análoga generada por

$$W(\psi)W(\phi)=e^{-i\mathrm{Im}\langle\psi,\phi\rangle}W(\psi+\phi)\; ,$$ dónde $\psi,\phi\in \mathscr{H}$, $\mathscr{H}$espacio de Hilbert de dimensión infinita, tenemos infinitas representaciones irreducibles unitariamente no equivalentes. En esa situación (este es el caso del campo cuántico bosónico CCR), tenemos otras representaciones que no son equivalentes a la de Schrödinger (o la de Fock); y así se vuelve realmente crucial ver la teoría cuántica como la teoría generada por el álgebra de observables (no conmutativos).