Conexiones entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica [duplicado]

He estado estudiando mecánica cuántica y mecánica clásica desde hace un tiempo, y todavía no siento que entienda completamente la motivación de algunas de nuestras elecciones en la mecánica de Heisenberg. Por ejemplo, claramente no es una coincidencia que los observables clásicos (funciones de coordenadas y sus momentos conjugados) y los observables cuánticos (operadores hermitianos) parezcan formar álgebras de Lie análogas con el corchete de Poisson y el conmutador respectivamente. Pero no me queda claro por qué esto es cierto. ¿Hay algún significado profundo contenido en esta declaración? ¿O es más indicativo del hecho de que al construir un modelo cuántico del universo nos inspiramos sustancialmente en nuestra intuición y estudio previo de la mecánica clásica?

En esta misma línea, ¿qué motiva el paso de las funciones clásicas en el espacio de fase a los operadores hermitianos? Entiendo por qué los operadores correspondientes a los observables deben ser autoadjuntos (los valores propios deben ser reales), pero no entiendo qué motiva el cambio a los operadores en general. ¿Por qué esperaríamos que los operadores en un espacio de Hilbert dieran predicciones físicas? Parte de mi confusión aquí también puede provenir del hecho de que no me queda del todo claro qué hacen exactamente estos operadores en todos los casos. Por ejemplo, entiendo que ⟨ ψ | X ^ | ψ ⟩ corresponde a la posición esperada de una partícula en el estado | ψ ⟩ , pero es mucho menos obvio lo que el X ^ operador hace a un estado en general. En algunos casos (como j ± cuando se considera el momento angular), está claro lo que el operador le hace a un estado (aumenta o disminuye los estados propios de j z ), pero en todos estos casos el operador no es hermitiano. Quizás la respuesta a esta pregunta es simplemente que el modelo da predicciones precisas y por eso lo usamos, pero me pregunto si hay una mejor manera de pensar en estas cosas.

Un matemático llamado Van der Waerden era amigo de Heisenberg e historiador de la ciencia. No estoy en condiciones de escribir una respuesta, pero sus trabajos dan cuenta de primera mano del desarrollo y la motivación de la mecánica cuántica.
¿Miraste los papeles de Schroedinger? No son fáciles de leer, pero al menos "Quantisierung als Eignenwertproblem" es bastante sencillo. En ese artículo propone la ecuación de Schroedinger. La principal motivación parece ser que el problema de valores propios reemplaza una condición de cuantificación explícita. Dada la confusión en ese momento, es probable que los fundadores de la mecánica cuántica obtuvieran la motivación de muchos tipos diferentes de argumentos.
Si desea algunas características no conmutativas (que no son más que contrafactuales, como lo vemos en el experimento de doble división de Young), necesita ver los observables como operadores.
¿Por qué no respondiste la pregunta? Es una hermosa pregunta. Efectivamente, como dices, aprendí el problema de encontrar los autovalores y autoestados de una matriz, como una forma de tratamiento de valores discretos para cantidades físicas.
relacionado: physics.stackexchange.com/q/46015 y enlaces en el mismo
Creo que no hay una respuesta definitiva a tu profunda pregunta de por qué. Me pregunto cuán grande fue el desconcierto y el coraje de los primeros investigadores como Schroedinger, Dirac.
El enlace de @glance es muy relevante, especialmente la respuesta de Urs Schreiber . De hecho, la respuesta explica perfectamente por qué la mecánica hamiltoniana y la mecánica cuántica se ven tan similares algebraicamente, por lo que I VTC como duplicado.
cree que las metáforas/enlaces/modelos clásicos que se alinean con QM no han sido completamente explorados/investigados/analizados/apreciados hasta la fecha. ver, por ejemplo, chat, modelos de juguete de QM

Respuestas (1)

Usted pregunta:

"¿Hay algún significado profundo contenido en esta declaración? ¿O es más indicativo del hecho de que al construir un modelo cuántico del universo nos inspiramos sustancialmente en nuestra intuición y estudio previo de la mecánica clásica?"

Ambas variantes son verdaderas.

Al desarrollar la relatividad especial, Einstein no partió de cero, sino de la mecánica clásica complementada con el hecho de que la velocidad de la luz es la misma en cualquier marco inercial. No inventamos los conceptos de espacio, tiempo, velocidad, etc. Ya estaban en uso.

Con el QM, no inventamos la posición, el momento lineal, el momento angular, etc. Simplemente llegamos a la conclusión de que algunos objetos se comportan como ondas, y para su descripción necesitamos una ecuación que describa la evolución de una onda (de hecho, la La ecuación de Schrodinger se parece más a la ecuación del calor, solo que el coeficiente de difusión es imaginario; estas cosas se discutieron en relación con otras preguntas). Además, concluimos que algunas propiedades físicas no admiten valores continuos, sino valores discretos.

Entonces, desarrollamos el QM introduciendo modificaciones en la mecánica clásica: el átomo de Thomson, el modelo de átomo de Bohr, el modelo actual basado en la ecuación de Schrödinger.

Sobre los operadores:

Heisenberg desarrolló primero un cálculo matricial. ¿Por qué matrices? En primer lugar porque algunas magnitudes físicas tienen valores discretos que se pueden obtener a partir de un problema con autofunciones y autovalores discretos (habrás aprendido cálculo de autovalores y autofunciones de matrices). Entonces, una cantidad, por ejemplo, la proyección del momento angular, puede tener algún valor q , cuando el sistema se encuentra en una determinada situación, (estado). Por cierto, cuando Schrödinger desarrolló su ecuación, se había adherido a la idea de la naturaleza estadística de QM. Por lo tanto, un estado cuántico permite que algunos observables tengan un valor preciso, pero para otros observables (que pueden ser la posición) solo se obtienen predicciones estadísticas.

La generalización a observables con un espectro continuo de valores, es inmediata.

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