¿Las derivadas son anticonmutantes con variables de Grassmann y números complejos en una integral de trayectoria de muchos cuerpos?

jane,$\partial_\tau$es claramente una derivada con respecto a un tiempo bosónico$\tau$, por lo que conmuta con todo lo demás (excepto las funciones de$\tau$sí mismo, con el que tiene un conmutador distinto de cero), en lugar de anticonmutadores. Solo si ambos objetos tienen un carácter fermiónico (si ambos son impares de Grassmann), se anticonmutan entre sí (o tienen un anticonmutador que se puede evaluar).

Sin embargo, no hay ningún error de signo en las fórmulas. Hiciste una buena pregunta: ¿cómo llegas de

$$-\partial_\tau \bar\psi \psi$$ a $$+\bar\psi\partial_\tau \psi$$ Se necesita un poco de paciencia para responder a esta pregunta. Tenga en cuenta que en las dos expresiones, se diferencia una variable diferente. En el primero es $\bar\psi$que es diferenciado; en el segundo, es $\psi$.

No puedes simplemente mover los derivados. Incluso para funciones bosónicas,$uv'$es algo más que$u'v$, ¿no es así?

Entonces las dos expresiones no son "obviamente iguales", ni siquiera hasta un signo, y para convertir una en la otra, debes integrar cuidadosamente por partes. Tenga en cuenta que

$$\partial_\tau (\bar\psi \psi) = \partial_\tau\bar\psi \psi + \bar\psi\partial_\tau\psi.$$ Esta "regla de Leibniz" procedió igual que para la derivada de productos de factores bosónicos porque tuve que burbujear $\partial_\tau$a través de $\psi$'arena $\partial_\tau$es un objeto bosónico. Si estuviera escribiendo una regla de Leibniz para una derivada de Grassmann, tendría que cambiar el signo cada vez que la derivada pasara por un factor impar de Grassmann.

Pero aquí nos ocupamos de bosonic$\tau$-derivadas por lo que la regla de Leibniz es como siempre ha sido. Por lo tanto, implica que hasta una derivada total, es decir, el lado izquierdo$\partial_\tau (\bar\psi \psi)$que se integra a cero en el tiempo euclidiano periódico: los dos términos del lado derecho son opuestos entre sí. De ahí viene el signo menos.

La respuesta a tu pregunta no se refiere$\psi$siendo una variable de Grassman. Hagámoslo:

Empezar con:

$$\begin{equation} \lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n - \bar{\psi}^{n+1}) \psi^n =\lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n\psi^n - \bar{\psi}^{n+1}\psi^n) \end{equation}$$

Antes de tomar el límite$N\to \infty$cambiar la variable ficticia$n$en el segundo término a$n-1$(No recuerdo pero tal vez sea necesario usar$\psi(\beta) = -\psi(0)$en algún momento), obtenemos:

$$\begin{equation} \lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n\psi^n - \bar{\psi}^{n}\psi^{n-1}) = \lim_{N \to \infty} \delta \sum_n \bar{\psi}^n \dfrac{(\psi^n - \psi^{n-1})}{\delta} \end{equation}$$

Por lo tanto, cuando se aplica el límite$N\to\infty$usted obtiene:

$$\begin{equation} \int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau), \end{equation}$$

resolviendo el problema.

Sin embargo, si desea una forma elegante de transformar$\partial_\tau\bar{\psi}\psi$a$-\bar{\psi}\partial_\tau\psi$usted define la derivada de un producto Grassman por una variable normal (por normal me refiero a cualquier cosa que no sea Grassman) como:

$$\partial_\tau (\eta \eta\prime) = \partial_\tau\eta \eta\prime + \eta\partial_\tau\eta\prime \longrightarrow \partial_\tau\eta \eta\prime = \partial_\tau (\eta \eta\prime) - \eta\partial_\tau\eta\prime$$ por lo tanto:

$$\begin{equation} \int d\tau \ \partial_\tau\bar{\psi}(\tau) \psi(\tau) = \left[\bar{\psi}(\tau) \psi(\tau)\right]^\beta_0 -\int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau) =-\int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau), \end{equation}$$ también resolviendo el problema.