¿La conservación de la densidad de cantidad de movimiento implica la conservación de la densidad de energía?

En el contexto de la relatividad especial/general, la conservación del tensor de tensión-energía conduce a la conservación de la cantidad de movimiento/densidad de energía$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$. Esto constituye 4 ecuaciones, una para energía y 3 para cantidad de movimiento.

Para muchos sistemas, sin embargo, la conservación de la densidad de energía se deriva trivialmente de la conservación del momento. Por ejemplo, para el tensor de energía de estrés electromagnético,$\nabla_\mu T_{\rm EM}^{\mu\nu}=J_\mu F^{\mu\nu}$. La porción de energía es$J_\mu F^{\mu0}=-\vec{E}\cdot\vec{J}$, y la parte del espacio es$J_\mu F^{\mu j}=-(\rho \vec{E} + \vec{J}\times\vec{B})$. Tomando el producto punto$-\vec{J}\cdot(\rho \vec{E} + \vec{J}\times\vec{B})$rendimientos$\rho$veces el componente de tiempo, por lo que la pérdida de energía ya está determinada por la pérdida de impulso.

Para las partículas, esto también es cierto: la potencia entregada a una partícula es solo la velocidad multiplicada por la fuerza.

¿Es esta una propiedad general de$\nabla_\mu T^{\mu\nu}$, que la porción de energía se sigue de la porción de cantidad de movimiento? ¿Alguien puede señalarme una referencia que explique esto? Si no, ¿alguien puede señalarme un contraejemplo?

PD: He notado algunos documentos, que parecen restringir la conservación de la energía para estar relacionada con la conservación del momento para garantizar la "integrabilidad", aunque no veo cómo se conectan, o si están necesariamente conectados.

EDITAR :

La forma en que redacté esto fue pobre. Probablemente no tenga sentido decir "¿la conservación de la energía se deriva de la conservación del impulso?" ya que en diferentes marcos de referencia los dos se mezclan de diferentes maneras. Más bien, debería decir Hace$\nabla_\mu T^{\mu\nu}$producir 3 ecuaciones independientes o 4 ? Basado en la experiencia, quiero decir 3, no 4. Los dos ejemplos anteriores tienen solo 3 ecuaciones independientes (y sin mucho trabajo son generalizables a ecuaciones de tensor con alguna identidad de restricción que elimina la cuarta ecuación).

Para problemas de fluidos en relatividad general, parece que solo hay 3 ecuaciones independientes. Tomemos por ejemplo el tensor de energía de tensión de un fluido perfecto:

$T_{\rm pf}^{\mu\nu}=(\epsilon+p)u^\mu u^\nu - p g^{\mu\nu}$

hay 3 grados de libertad$u^\mu$porque debe satisfacer la identidad$u_\mu u^\mu=-1$. La densidad de las partículas es otro grado de libertad por punto en el espacio-tiempo, pero existe una restricción de conservación del número de partículas, que da otra restricción. Para obtener ecuaciones de movimiento bien planteadas, también debe haber una ecuación de estado, que relacione la presión/energía con el número de partículas. Entonces, para obtener ecuaciones de movimiento bien planteadas, parece que solo debe haber 3 ecuaciones de movimiento independientes.

Además, consulte http://adsabs.harvard.edu/abs/1991A%26A...252..651G donde desarrollan las ecuaciones de Einstein en el espacio-tiempo simétrico esférico. Afirman explícitamente que una de las ecuaciones dinámicas del movimiento es redundante. Al final de la sección 5 del documento: "Tenga en cuenta que... es posible determinar la densidad de energía en el marco fluido,$e$, ya sea por medio de la ecuación de estado (5), ya sea a partir del conocimiento de$\mathcal{E}$a través de la ecuación (10). Los dos valores son exactamente iguales, siempre que la presión$p(s,n_B)$, que aparece en la Ec. (25) para$\mathcal{E}$, es termodinámicamente consistente con$e(s,n_B)$, es decir, que$p$obedece a la Ec. (6)". La ecuación (6) en la referencia es solo la primera ley de la termodinámica.

Así que para reformular:

En todas las circunstancias prácticas de las que tengo conocimiento,$\nabla_\mu T^{\mu\nu}$produce solo 3 ecuaciones independientes, siendo la cuarta redundante. ¿Es este el caso o hay situaciones en las que esto no es cierto?