Cálculo de cuatro impulsos a partir del tensor de energía-impulso

Extrae un vector de energía-momento de la densidad de tensión-energía-momento mediante la integración sobre una superficie 3 similar al espacio (mientras que la integración sobre una superficie similar al tiempo produciría flujos de momento). Si su superficie similar al espacio está definida por la condición$t=\text{const}$, eso significa integrar la primera columna$T_{\mu0}$.

Podría ser útil considerar los objetos geométricos invariantes involucrados, en lugar de solo sus representaciones de coordenadas:

Para partículas puntuales, el impulso es un covector

$$p_\mu\mathrm dx^\mu$$ Para medios continuos (campos y fluidos), tenemos que promover esto a una densidad de momento $$\rho_\mu\mathrm dx^\mu\otimes\mathrm dV$$ dónde $$\mathrm dV = \mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$$ es el elemento de volumen tridimensional. Eso ya no es un objeto invariable, ya que un cambio de marco se mezclará $$\mathrm dt\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy\qquad \mathrm dt\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dz\qquad \mathrm dt\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$$ Por razonamiento puramente geométrico, el vector energía-momento tiene que ser promovido a un tensor $$T_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu\otimes\star\mathrm dx^\nu$$ donde hemos representado los elementos de la superficie a través de sus vectores normales por la dualidad de Hodge.