¿Por qué el tensor de energía-momento TμνTμνT_{\mu \nu} es la fuente del campo gravitatorio en lugar del vector de momento PμPμP_{\mu}?

Porque para una distribución continua de materia (o energía), como un fluido, lo que realmente quieres es la densidad del momento, y esta densidad viene dada por el tensor energía-momento.

Si tiene un fluido (o, de nuevo, cualquier distribución de energía), puede definir en cada punto la velocidad$\mathbf{u}$, que en el espacio-tiempo se generaliza a las cuatro velocidades$u^\mu$. No hay problema hasta ahora. Pero si quieres el impulso en cada punto, esa es la masa por la velocidad. ¡Y nos encontramos con un problema, porque la masa de un solo punto es cero! La masa no es una cantidad que se pueda definir en cada punto; no es un campo.

Eso está bien, porque sabemos que realmente deberíamos haber usado la densidad de masa. Y así, en la mecánica newtoniana podemos escribir la densidad de momento como$\rho \mathbf{u}$, y la densidad de energía como$\frac12 \rho u^2$. Pero en relatividad esto realmente no funciona, porque la densidad no es un escalar: cambia después de un impulso de Lorentz. Algunas matemáticas revelan que la densidad de energía se transforma como el componente cero-cero de un tensor (tomando dos factores de$1/\sqrt{1-v^2}$), que es el tensor de energía-momento.

O dicho de otro modo: la densidad de energía-momento, cualquiera que sea, debe tener dos índices. Necesitas un índice para decirme cuál es tu eje de tiempo; y luego puedo tomar el espacio 3D ortogonal a ese eje de tiempo y dar la densidad de momento en ese espacio, teniendo en cuenta el otro índice. Pero no puedo definir una densidad si no me dices cómo eliges dividir el espacio-tiempo en espacio y tiempo.

En realidad usamos algo un poco como$P_\mu P_\nu$. Si sumas la expresión$P_\mu v_\nu$para todas las partículas de materia en una región, se obtiene$T_{\mu\nu}$, al menos para el elemento materia. Todavía necesita el componente em de los fotones, pero puede ver que debe incluirse debido a la conservación de la energía-momento.

Einstein se había dado cuenta mucho antes de que la curvatura debía estar involucrada, al pensar en la paradoja de los gemelos que lo llevó a expresar el principio de equivalencia. No se puede usar Riemann porque eso significaría que el espacio-tiempo era plano en regiones sin masa. Trató de usar Ricci, pero no funcionó. Solo cuando descubrió que el tensor de Einstein obedece a la identidad de Bianci contraída y, en consecuencia, conserva automáticamente la energía-momento, encontró la ecuación correcta.

Aquí hay una línea de razonamiento: recuerde que una fuente$J_k$es (menos) la derivada de la acción efectiva $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$wrt. el campo clasico$\phi^k_{\rm cl}$. Por analogía, se puede considerar el tensor SEM de Hilbert/métrico

$$T^{\mu\nu}~:=\pm\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$$ como fuente del campo gravitatorio$g_{\mu\nu}$, cf. Pregunta del título del OP.

El punto de partida de la justificación debería ser la ecuación del campo gravitatorio clásico de Newton. Esta no es la famosa ley de gravitación de Newton, sino la ecuación de Poisson con la densidad de masa en el RHS:

$$\Delta \phi = 4\pi \rho$$

Esta ecuación es mucho más general y permite calcular el potencial gravitacional para cualquier tipo de distribución de masa expresado por la densidad de distribución de masa$\rho(\vec{r})$, en particular para$\rho(\vec{r})= m\delta^3(\vec{r}-\vec{r}')$para una masa$m$en$\vec{r}'$.

Las EFE (ecuaciones de campo de Einstein) deben contener en cualquier caso la ecuación de Poisson en aproximación newtoniana. Si usamos el EFE de la siguiente forma (pongamos velocidad de la luz$c=1$):

$$R^i_k = 8\pi G (T^i_k - \frac{1}{2}\delta^i_k T^l_l)$$

Limitamos el análisis a la$^0_0$componente:

$$R^0_0 = 8\pi G (T^0_0 - \frac{1}{2} T^l_l)= 4\pi G(T^0_0-T^1_1-T^2_2-T^3_3)\approx 4\pi G\rho$$

usando$T_{ik}=diag(\epsilon, p,p,p)$dónde$\epsilon \equiv \rho$si$c=1$es la densidad de energía. Este es el tensor de energía-momento de un líquido incompresible en reposo.

Además suponemos que en la mayoría de los casos la presión$p$puede despreciarse como fuente de gravitación en esta aproximación (en la teoría newtoniana la presión al menos no sirve como fuente de gravitación). Así que ya reproducimos el término fuente (RHS) de la ecuación de Poisson. Sin embargo, tratar de usar el cuadrivector energía-momento o sus binomios no lograría construir tal expresión.

El análisis del LHS es un poco más complicado. El mejor enfoque es a través de la ecuación de desviación geodésica. Es bien sabido que en caída libre la aceleración sentida hacia la fuente masiva puede eliminarse por completo, mientras que los cuerpos de sonda extendidos todavía sienten fuerzas de marea que no pueden eliminarse. La descripción formal se realiza mediante la ecuación de desviación geodésica que contiene componentes del tensor de Riemann:

$$\frac{d^2 n^i}{ds^2} =-R^i_{0j0} n^j$$

que describe la aceleración de un vector normal$n^i$entre dos geodésicas adyacentes. En GR esta fuerza de marea está asociada con la curvatura del espacio, expresada en la ecuación por el tensor de Riemann.

En realidad, también se puede hacer algo comparable en la teoría newtoniana: para dos puntos de masa adyacentes en las órbitas:$x^i(t)$y$x^i(t)+n^i(t)$obtenemos 2 ecuaciones de movimiento:

$$\ddot{x^i}(t)= - \frac{\partial\phi}{\partial x^i}\mid_{x(t)}$$

y

$$\ddot{x^i}(t)+\ddot{n^i}(t) = - \frac{\partial\phi}{\partial x^i}\mid_{x(t)+n(t)}$$

Tomando la diferencia de ambas ecuaciones se obtiene:

$$\ddot{n^i}(t)= - \frac{\partial^2\phi}{\partial x^i\partial x^j}n^j(t)$$

Por lo que podemos establecer la siguiente correspondencia:

$$R^i_{0j0} \leftrightarrow \partial_i\partial_j \phi$$

Si contraemos los índices$i$y$j$obtenemos:

$$R_{00} \leftrightarrow \Delta\phi$$

Así que si reemplaza$R_{00}$por$\Delta\phi$en el$^0_0$componente del EFE finalmente obtenemos:

$$\Delta\phi \approx 4\pi G\rho$$

Nuevamente, si en lugar de eso lo hubiéramos probado con el tensor de Riemann no contraído en el LHS, habríamos terminado con términos como$\partial_i\partial_j \phi$, que no aparecen en la LHS de la ecuación de Poisson. Si no fuéramos capaces de reproducir la física newtioniana en circunstancias simples, evidentemente algo andaría mal con las EFE.

Por supuesto, uno podría preguntarse si hay formas más sutiles de reproducir la ecuación de Poisson a partir de ecuaciones de campo gravitatorio más sutiles, ya que necesitamos una teoría cuántica compatible (que reemplace a GR). Este es un tema de investigación real.