Duda sobre la definición del tensor tensión-energía

Podría ayudar pensar en un ejemplo. Un ejemplo simple es el polvo, específicamente una colección de partículas de una masa fija en reposo, todas en reposo unas con respecto a otras, y podemos considerarlas polvo uniforme, por lo que están igualmente espaciadas.

Si eso es lo único en nuestro universo, entonces no hay momento ni estrés en el marco del polvo y la energía es solo la energía en reposo, por lo que la densidad de masa y la densidad de energía son simplemente proporcionales.

Así que ese es nuestro ejemplo. Ahora veamos el tensor de energía de estrés. Tenemos una$T^{\mu\nu}$como el flujo de cuatro impulsos$p^{\mu}$sobre una superficie de constante$x^{\nu}$. Una superficie de constante$x^0=ct$es una superficie de constante$t$. Un flujo es una cosa por área. Así que puedes imaginar un poco de área/volumen en el$t=const$plano/hiperplano, digamos un rectángulo/caja con tamaño$\Delta x \Delta y \Delta z$, si la caja es más grande obtienes más flujo. Podemos dibujar las líneas de mundo de las partículas y contar cuántas atraviesan esta pieza del$t=const$hipersuperficie, y una vez que la pieza es lo suficientemente pequeña, el resultado es proporcional al tamaño del volumen. Entonces esa constante de proporcionalidad es la densidad de partículas. Si multiplicamos eso por la masa por partícula, ahora estamos contando la masa que atraviesa esa porción de la$t=const$superficie, y la constante de proporcionalidad es la densidad de masa. Si multiplicamos eso por el$c^2$, ahora estamos contando la energía que atraviesa esa porción del$t=const$superficie, y la constante de proporcionalidad es la densidad de energía.

Es un número que nos dice cuánto cuesta$p^0$componente de perforado una pieza de una superficie de constante$x^{\nu}$dividido por el tamaño de la pieza. ¿Por qué se llama flujo?

Los flujos son (cosa/área)/tiempo. Si configura una superficie de$x^1=const$entonces puedes hacer una pieza de esa superficie con un$\Delta t$, y un$\Delta y$y un$\Delta z$y ver cuánto de su cosa golpea la pieza de la$x^1=const$superficie dentro de su parche, y obviamente es proporcional a la duración del parche (tiene que golpear dentro del intervalo de tiempo) y el área del parche. Entonces, la tasa por área es una medida de la constante de proporcionalidad entre cuántos perforaron la pieza del$x^1=const$superficie y el "volumen"$\Delta t \Delta y \Delta z$de la pieza

Entonces flux es la versión cuando tienes un "volumen"$\Delta t \Delta y \Delta z$por pieza, y densidad (cosas por volumen$\Delta x \Delta y \Delta z$) es el nombre cuando tienes una pieza de un$t=const$superficie. Con razón son exactamente el mismo concepto. Entonces los llamamos densidades o los llamamos flujos o los llamamos densidad-flujo o flujo-densidad.

Se llama flujo porque es lo que multiplicas por el "volumen"$\Delta t \Delta y \Delta z$para obtener cuánto de la cosa perforó tu parte de la hipersuperficie$x^1=const$. Cuando el "volumen" es un volumen real$\Delta x \Delta y \Delta z$entonces, históricamente, llamamos densidad a esa constante antes de saber que el espacio-tiempo es legítimo.

Reconociendo que el flujo es una tasa por área, y que esto se generaliza a la densidad para$t=cosnt$hipersuperficies es todo lo que necesitas para entenderlo. Ahora puede hacer flujo de partículas, flujo de masa, flujo de energía, etc.

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Entonces eso es lo que son el flujo y la densidad, y son el mismo concepto. Abordemos sus preguntas específicas una por una:

$T^{00}$debería ser el flujo de energía a través del espacio, ¿verdad?

No,$T^{00}$es el flujo de energía a través de una superficie de$t=const$, o más correctamente

$$\int\int\int_{t=const}T^{00}dx^1dx^2dx^3,$$ debería darle la cantidad de energía que pasó a través de su región, por lo que localmente $T^{00}$es una constante de proporcionalidad que escala $\Delta x \Delta y \Delta z$hasta un poco de energía. Históricamente lo llamaríamos densidad de energía, pero en física relativista lo llamamos flujo para reconocer que no hay nada diferente en principio entre esa constante y la constante por la que multiplicas $\Delta t \Delta y \Delta z$para ver cuántas cosas fluyen a través de un área $\Delta y \Delta z$en un intervalo de tiempo $\Delta t$.

Creo que no entiendo el uso de la palabra flujo aquí.

Un flujo es una constante de proporcionalidad que se multiplica por$\Delta t \Delta y \Delta z$para ver cuántas cosas fluyen a través de un área$\Delta y \Delta z$en un intervalo de tiempo$\Delta t$, todo en una superficie de$x=const$. Entonces, para ser justos con todas las direcciones del espacio-tiempo, puede elegir cualquier superficie como$dx^{\nu}=const$entonces toma$c\Delta t \Delta x \Delta y \Delta z/ \Delta x^{\nu}$para cuantificar cuánto de esa superficie infinita$dx^{\nu}=const$tienes y la constante de proporcionalidad que multiplicas$c\Delta t \Delta x \Delta y \Delta z/ \Delta x^{\nu}$por se llama el flujo.

Sin embargo, lo que dicen todos los recursos que he visto es que el flujo de energía a través del espacio sería la densidad de energía, que no es en absoluto la ecuación anterior.

Una integral con$dxdydz$se ve exactamente como si estuvieras integrando una densidad, y una densidad en un$t=const$superficie es exactamente un flujo para$dx^{\nu}=const$superficie para el caso especial donde$\nu=0$.

Si$T^{00}$sería la densidad de energía$\rho$, ¿no tendría más sentido cambiar la definición del tensor de energía de tensión, de modo que:

El cuatro impulso$p^{\mu}$es el flujo de$T^{\mu\nu}$a través de una superficie de constante$dx^{\nu}$.

DE ACUERDO. A veces la gente llama al flujo la tasa, la cosa por área por tiempo o la cosa por volumen. Pero a veces llaman a la cosa integrada el flujo. Esto es desafortunado. Confundir los dos es como confundir una energía y una densidad de energía. El tensor de tensión-energía te dice la tasa, la cantidad por volumen:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{t=const} T^{\mu 0} dx dy dz.$$

En lugar de elegir un$t=const$superficie y viendo cuánto$p^\mu$lo cruzó, podría elegir un$x=const$superficie y obtener:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{x=const} T^{\mu 1} cdt dy dz.$$

O podrías elegir un$y=const$superficie y obtener:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{y=const} T^{\mu 2} cdt dx dz.$$

O podrías elegir un$z=const$superficie y obtener:

$$p^{\mu}=\int\int\int_{z=const} T^{\mu 3} cdt dx dy.$$

En cada caso, la integral te está diciendo cuánto$p^\mu$cruza tu hipersuperficie. Y resulta que esto es suficiente para manejar cualquier hipersuperficie, en particular si elige cualquier superficie que localmente parezca plana, puede combinar estas tasas por área (o densidades)$T^{\mu 0}$,$T^{\mu 1}$,$T^{\mu 2}$, y$T^{\mu 3}$para saber cuanto$p^\mu$fluye a través de su superficie arbitraria.