¿Se conserva la energía en la relatividad general? ¿∇aTabmatter=0∇aTmatterab=0\nabla_aT^{ab}_{\rmmatter}=0 representa la conservación de la energía y el momento?

Después de echar un vistazo a la respuesta de Jim, no estoy seguro de mi conocimiento en este momento. Sin embargo, intentemos averiguar los detalles. Afirmo que el tensor de energía-momento de la materia en GR no se conserva por sí mismo, ya que la materia siempre interactúa con el campo gravitatorio y, en su lugar, se debe tener en cuenta la energía total.

Desaparición de la divergencia covariante$\nabla_a T^{ab}=0$refleja exactamente esta característica. Considere esta ecuación integrada sobre un volumen de 4 dimensiones

$$\begin{equation} \begin{aligned} 0=&\int_V d^4x \sqrt{-g}\;\nabla_a T^{ab}=\int_V d^4x \nabla_a(\sqrt{-g}\; T^{ab})=\int_V d^4x \partial_a(\sqrt{-g}\; T^{ab})+\ldots\\ =&\int_{\partial V} d\Sigma_a T^{ab}+\ldots, \end{aligned} \end{equation}$$ donde los puntos representan cualquier símbolo de Christoffel que aparezca allí. Por lo tanto, vemos que si elegimos la superficie $\partial V$de la manera habitual cuando sólo su $x^0=const$partes contribuyen a la integral obtendremos la ley de conservación habitual deformada por los términos de conexión $$\begin{equation} 0=P^b(x^0=t_2)-P^b(x^0=t_1)+\dots. \end{equation}$$ Entonces, dado que la diferencia de 4-momentum en diferentes momentos no desaparece, el tensor de momento de energía de la materia no se conserva por sí mismo.

Sin embargo, si tenemos en cuenta la contribución de la gravedad que se calcula de la forma habitual

$$\begin{equation} T^{grav}_{ab}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{EH}}{\delta g^{ab}}=R_{ab}-\frac12g_{ab}R, \end{equation}$$ vemos la característica bien conocida de GR de que el tensor de energía-momento total se desvanece debido a las ecuaciones de Einstein $$\begin{equation} T_{ab}+T_{ab}^{grav}=0. \end{equation}$$ Eso es un poco obvio, porque el tensor de momento de energía total se obtiene mediante la variación de la acción total wrt $g_{ab}$y por lo tanto da exactamente EOM para el campo gravitatorio con una fuente.

Parece que la pérdida de energía de la radiación se convierte en energía del campo gravitatorio. Además, puede leer el volumen 2 de Landau-Lofshitz para averiguar cómo la gente define el pseudotensor de energía-momento del campo gravitacional que no cancela el tensor de energía-momento de la materia y, por lo tanto, es más útil para algunas aplicaciones.

$\nabla T=0$no es una ley de conservación. No estás considerando la energía del campo gravitatorio de esta manera.

Si haces el cálculo encuentras algo como$\partial_{\nu} (\sqrt{-g} T^{\mu \nu}) \neq 0$, por lo que no puede definir una carga conservada como$P^{\mu}= \int \sqrt{-g} d^4x T^{\mu0}$.

Para tener en cuenta el campo escalar gravitacional, podría construir un pseudotensor, pero esto no es satisfactorio. De todos modos, en algunos casos tienes simetrías que te permiten tener cantidades conservadas.

Para conocer la pérdida de energía debida al corrimiento al rojo cosmológico, consulte aquí: corrimiento al rojo

EDITAR: Agrego algo debido a los comentarios. Al pasar de un espacio curvo a un marco inercial local, por supuesto que tiene$\nabla T=0 \rightarrow \partial T=0$y el último ES una ley de conservación. Pero no en general. En un espacio-tiempo dinámico genérico, la energía no se conserva.

Referencias: Hartle, Gravity, pág. 482 cap. 22 (Cons. Local de En-Momentum en Espacio Curvo). Vea en particular el ejemplo sobre la cosmología FRW que responde muy bien a la pregunta inicial.

La energía de la radiación cae como$a^{-1}$porque el espacio se está expandiendo. A medida que el espacio se expande, los picos de una onda electromagnética se expanden con él, lo que hace que se separen más. Esto significa que la longitud de onda de la radiación aumenta a medida que se expande el espacio, por lo que la frecuencia disminuye. Dado que la energía es$E=h\nu$, si la frecuencia disminuye proporcionalmente a$a^{-1}$, entonces la energía también cae como$a^{-1}$. Esto se llama corrimiento al rojo cosmológico.

Además, como se menciona en los comentarios,$\nabla_{\mu}T^{\mu}_{~\nu}=0$significa que el tensor de energía-momento se conserva. Es el equivalente GR de la conservación de la energía y las leyes de conservación del momento.