¿Cómo se relaciona la componente de tiempo del intervalo de espacio-tiempo en un diagrama de espacio-tiempo con la componente de tiempo del vector energía-momento 4?

Dado que su pregunta implica variar la "energía cinética relativista", el siguiente diagrama de energía-momento podría ser útil.

Primero, algunas definiciones.

• Usamos la rapidez $\theta$[el ángulo de Minkowski entre vectores futuros],
  donde la velocidad es$V=c\tanh\theta$y
  el factor de dilatación del tiempo es$\gamma=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\cosh\theta$.
• En$(t,x)$coordenadas, las 4 velocidades adimensionales $\hat u=(\cosh\theta,\sinh\theta)$,
  que tiene "pendiente"$(V/c)=\displaystyle\frac{u_x}{u_t}=\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}=\tanh\theta$y
  unidad de magnitud cuadrada$\hat u\cdot\hat u=(\cosh^2\theta - \sinh^2\theta)=1$.
• El 4-momento [o el 4-vector de momento ] de una partícula $$\tilde P= m\hat u = m(\cosh\theta,\sinh\theta)=(E,p),$$ que tiene un componente temporal$P_t=E$llamada "energía relativista"
  y un componente espacial$P_x=p$llamado "momento relativista" .
  Su pendiente es también la velocidad.
  
  La magnitud cuadrada$\tilde P \cdot \tilde P=(E^2-p^2)=(m\cosh\theta)^2-(m\sinh\theta)^2=m^2$es el cuadrado de la "masa" , un invariante. En el diagrama de energía-momento, la curva de masa constante$m$(llamado "capa de masa" ) está dada por la hipérbola. (En este diagrama, la punta del 4-momentum$\tilde P$está en el ``$m=4$cáscara de masa.'')
• La "energía cinética relativista" (con la$c$está restaurado)
  $T=mc^2(\cosh\theta-1) \equiv mc^2\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}-1\right)\approx \left( \displaystyle\frac{1}{2}mV^2 + \frac{3}{8}\frac{m}{c^2}V^4+\frac{5}{16}\frac{m}{c^4}V^6 + \ldots \right)$.
  Se puede visualizar como el segmento en el eje de energía desde el caparazón de masa (en$mc^2$) hasta la punta de la pierna temporal (en$mc^2\cosh\theta$), que es físicamente la porción de la energía relativista más allá de la energía en reposo (energía en reposo-masa) - por lo tanto, la energía cinética relativista.

Ahora considere varias formas de aumentar la energía cinética.
Tenga en cuenta que es importante hacer un seguimiento de cómo estamos tomando el límite... ¿se mantiene algo constante?

• Con masa fija (permaneciendo en la capa de masa),
  aumentando la energía cinética $T_{\rm faster}$corresponde a aumentar la rapidez, la velocidad, la energía y el momento... hacia el borde del cono de luz [pero nunca alcanzarlo].
  La cola del segmento de energía cinética permanece en la capa de masa [manteniendo$m$constante] pero la punta del componente de energía aumenta.
  
• Con energía fija (manteniéndose en la línea horizontal de constante E),
  aumentando la energía cinética $T_{\rm impulsive}$corresponde a aumentar la rapidez, la velocidad y el momento, pero disminuir la masa (hacia la masa del fotón).
  La punta del segmento de energía cinética no cambia [manteniendo$E$constante], pero la cola del segmento se mueve hacia abajo a un caparazón de masa de menor valor.
  
• Con cantidad de movimiento fija (manteniéndose en la línea vertical de constante p),
  aumentando la energía cinética $T_{\rm B}$corresponde a aumentar la rapidez y la velocidad pero disminuir la energía y la masa (hacia la masa del fotón).
  La punta y la cola del segmento de energía cinética se mueven hacia abajo, mientras mantienen$p$constante.
  
• Con velocidad y rapidez fijas (manteniéndose en el rayo [de V constante]),
  aumentando la energía cinética $T_{\rm heavier}$corresponde a aumentar la masa, el impulso y la energía... pero no acercarse al cono de luz.
  La punta y la cola del segmento de energía cinética se mueven hacia arriba, mientras mantienen$V$constante.
  
• También se pueden utilizar otras trayectorias para tomar límites.

actualización:
usando las relaciones en la primera sección, uno podría escribir varias cantidades en función de la energía cinética relativista$T$y$m$:

• $E=m\cosh\theta=m(\cosh\theta-1)+m= T+m$
• $p=m\sinh\theta=m\sqrt{\cosh^2\theta-1}=\sqrt{m^2(\cosh\theta-1)(\cosh\theta+1)}=\sqrt{T(T+2m)}$
• $m=\sqrt{E^2-p^2}$
• $v=\tanh\theta=\displaystyle\frac{p}{E}=\frac{\sqrt{T(T+2m)}}{T+m}$

En primer lugar, me gustaría señalar (como ya sabrán) que el componente temporal de la energía no es únicamente$mc^2 +\frac{1}{2}mv^2$. Es solo el límite clásico de energía hasta el primer orden. La energía total sigue aumentando cuando aumentas la "energía cinética". Ahora para responder a tu pregunta

si su energía cinética es grande, ¿no debería viajar "menos" a través del tiempo y "más" a través del espacio?

No, no deberías. Esto es lo que intuitivamente puede enunciarse como. "ninguna partícula masiva puede moverse a velocidades mayores que la velocidad de la luz en el vacío". Expresado matemáticamente, siempre te quedas dentro del cono de luz del espacio de Minkowski.

Como puede ver en la imagen, el componente de tiempo del vector de posición 4 siempre es mayor que el componente de espacio. Además, a medida que aumenta el componente espacial del 4-vector de impulso, pasa a más componente espacial del 4-vector de posición. Como vector de impulso 3 es$m\frac{dx}{dt}$, por lo que cuando aumenta el componente espacial de la posición 4-vector, se acerca al límite del cono de luz, pero nunca lo deja

Dada una línea mundial$x^{\mu}$, su derivado en tiempos propios es su 4 velocidad:

Tenga en cuenta que:

Entonces están relacionados por un factor de escala,$m$.