Si la energía no se conserva globalmente, ¿podemos extraer trabajo "gratuito" útil?

Tienes razón en que la energía global no se conserva. Pero en realidad es peor que eso.

Dado que la energía depende del marco y no hay necesariamente un marco global, entonces ni siquiera hay un número objetivo llamado energía total que pueda cambiar de un momento a otro.

Entonces simplemente no hay una cosa llamada energía total.

Y la energía no es gratis, para obtener algo de energía tienes que interactuar y elegir interactuar con algo tendrá costos de oportunidad y cambiará la otra cosa, por ejemplo, privando a las generaciones futuras u otras ahora de obtener lo que podrían tener.

Por ejemplo, si ve un caparazón de materia contrayéndose a su alrededor, puede obtener algunos resortes y dejar que el caparazón comprima los resortes y luego usar esa energía para impulsar algunos cohetes para que se dirijan en muchas direcciones. Pero la "masa" del caparazón vista desde lejos no cambió mientras se comprimía.

Cuando tenía los resortes, la "masa" vista desde lejos del caparazón más los resortes no cambió cuando el caparazón comprimió los resortes. Pero a medida que toma esa energía y la usa para enviar los cohetes, cada región por la que pasan los cohetes comienza a ver menos "masa" para las cosas que quedan atrás.

Entonces, para las personas distantes, vieron un grupo de proyectiles, resortes y cohetes que tenían una masa total que no cambiaba. Y luego, cuando enviaste esa energía, ven una masa general que es más pequeña. Entonces es como la minería, había algunos recursos disponibles y ahora hay menos recursos disponibles.

Esto es lo opuesto a la energía libre.

Ahora echemos un vistazo a la expansión. Si dos galaxias ya se están separando, podría intentar conectarles un resorte, pero estas son dos galaxias enteras. No estoy seguro de cómo espera hacer esto.

Pero, ¿y si alguien hiciera eso en el pasado y ahora las dos galaxias se están moviendo una hacia la otra? Si se quitaron los resortes (o lo que no), entonces solo tienes dos galaxias moviéndose una hacia la otra. Esta vez quieres extraer energía local de eso. Bien tu puedes.

Andrómeda se dirige hacia la Vía Láctea en este momento, existe la posibilidad de obtener algo de energía de eso.

La muerte por calor se trata de trabajo útil versus calor. Eso significa que el calor es (más o menos) una forma natural para que la energía fluya desde regiones de alta entropía a regiones de baja entropía (en realidad es de alta temperatura a baja temperatura). Si simplemente deja que las cosas se mezclen, entonces podría esperar que las temperaturas bajas aumenten y las temperaturas altas disminuyan hasta que sea difícil obtener este flujo natural de energía. La muerte por calor se trata de la temperatura uniforme. Y es una batalla perdida si la energía fluye naturalmente de alta temperatura a baja temperatura e incluso cuando hacemos un trabajo que hace que la energía fluya de una cosa de baja temperatura a otra de temperatura más alta, incluso más energía termina afectando a otras cosas.

Es como tu aire acondicionado. El interior de su casa se enfría, pero acaba de hacer que el exterior se caliente aún más de lo que enfría su casa (cuando se mide en transferencia de energía). Ahora que usted y sus vecinos viven en un ambiente más cálido, es una batalla perdida.

Ahora hay complicaciones. Los sistemas vinculados gravitacionalmente pueden tener una capacidad calorífica negativa si pueden expandirse, por lo que la capa exterior de una estrella podría volverse más fría (y más grande) cuando el calor del núcleo caliente se precipita hacia ella. Esto puede hacer que la estrella se hinche (nuestro sol hará esto y crecerá tanto que nos destruirá a medida que el exterior del sol se enfríe pero mucho más cerca).

Para que puedas obtener energía. No es gratis. Y la energía seguirá fluyendo naturalmente de lo caliente a lo frío y la lucha es una batalla perdida en general.

No estoy seguro de lo que malinterpretas.

La energía no se conserva en la relatividad general básica porque no hay energía asociada al campo gravitatorio. Si le asocia algo de energía (a través, por ejemplo, del pseudotensor de Einstein), puede recuperar la conservación de la energía, la energía perdida se almacena en forma de GR equivalente a la energía potencial gravitatoria.