¿Existe una razón "geométrica" ​​para el principio de acción estacionaria?

No creo que la configuración del espacio de configuración tenga ninguna consecuencia. En ese sentido diré que no hay razón geométrica.

Dicho esto, la clave de la acción estacionaria de Hamilton es una propiedad que se presta muy bien a la demostración visual/geométrica.

Demostraré que la acción estacionaria de Hamilton aprovecha la siguiente propiedad de integración: toma una curva y la integral de esa curva: cuando duplicas la pendiente de la curva, el valor de la integral también se duplica. Más generalmente, la tasa de cambio del valor de una integral es igual a la tasa de cambio de la pendiente de la curva . (Esta propiedad es obvia, por supuesto, la estoy declarando explícitamente porque no es obvio cómo se desarrolla en la acción estacionaria de Hamilton).

El intermediario entre la segunda ley de Newton y la acción estacionaria de Hamilton es el teorema del trabajo y la energía.

Algunas observaciones para evitar malentendidos:

• Cuando la fuerza es una fuerza conservativa la capacidad de realizar trabajo y la energía potencial son las mismas. De aquí en adelante me referiré únicamente a la 'energía cinética' y la 'energía potencial'

• La teoría del movimiento se formula en términos de ecuaciones diferenciales, por lo que cuando me refiero al teorema trabajo-energía debe entenderse como el teorema trabajo-energía en forma diferencial.

$$\frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt}$$

La siguiente animación consta de 7 fotogramas, cada uno de los cuales se muestra durante tres segundos. Los 7 cuadros son capturas de pantalla sucesivas de un diagrama interactivo.

El caso representado en el diagrama es una fuerza hacia abajo uniforme.

He seleccionado las siguientes condiciones:
Duración total: 2 segundos (de t=-1 a t=1)
Aceleración gravitatoria: 2$m/s^2$
Masa del objeto: 1 unidad de masa.

Con$h(t)$para la altura en función del tiempo:

$$h(t) = -(t + 1)(t - 1) = -t^2 + 1$$

La línea negra representa la trayectoria del objeto.

La variación se ha implementado de la siguiente manera:

$$h(t,p_v) = (1 + p_v)(-t^2 + 1)$$

Es decir, la trayectoria del ensayo se expresa en función de dos variables: el tiempo y el parámetro variacional$p_v$

En el diagrama, el valor en el control deslizante en la parte inferior es el parámetro variacional$p_v$

En el cuadrante superior izquierdo del diagrama, la línea negra representa la trayectoria de la prueba.

En el cuadrante superior derecho:
Gráfico rojo: energía cinética
gráfico verde: menos energía potencial
El eje horizontal es 'tiempo'; las gráficas representan funciones de tiempo.

Para el gráfico rojo y el gráfico verde, la pendiente del gráfico representa la derivada temporal de la energía.

Cuando las pendientes de los gráficos rojo y verde son paralelas todo el tiempo, la trayectoria de prueba coincide con la trayectoria real.

En el cuadrante inferior izquierdo:
Las pendientes de los respectivos gráficos no cambian al mismo ritmo. Para valores del parámetro variacional hasta cero, el gráfico verde cambia más rápido, y para valores del parámetro variacional mayores que cero, el gráfico rojo cambia más rápido.

Destaca el diagrama del cuadrante inferior derecho. En los otros tres cuadrantes el eje horizontal representa el tiempo. En el cuadrante inferior derecho, el eje horizontal representa el parámetro variacional.

Permítanme presentarles los componentes de acción$S_K$y$S_P$.
$S_K$para el componente de energía cinética de la acción, y$S_P$para el componente de energía potencial de la acción.

En el cuadrante inferior derecho:
gráfico rojo:$S_K$
gráfico verde: menos $S_P$

En el cuadrante inferior derecho: cuando el parámetro variacional es cero las dos gráficas tienen la misma pendiente absoluta, con signo opuesto.

Resulta: cuando el parámetro de variación es cero:

$$\frac{dS_k}{dp_v} - \frac{dS_p}{dp_v} = 0$$

El paso del cuadrante inferior izquierdo al inferior derecho es el que anuncié al principio: la tasa de cambio del valor de una integral es igual a la tasa de cambio de la pendiente de la curva .

Esta demostración es para un caso específico; aceleración uniforme, el razonamiento se generaliza a todos los casos. En general, la respuesta a la variación de la trayectoria de prueba es diferente para la energía cinética y potencial.

La respuesta de la energía cinética a la variación es cuadrática. Ejemplo: si la energía potencial es inversamente proporcional al desplazamiento, así es como la energía potencial responde a la variación.

mecanica de la energia

Como se dijo al principio: la teoría del trabajo-energía en forma de derivadas del tiempo es la siguiente:

$$\frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt}$$

Sin embargo, esta forma no es práctica; la energía potencial es, por naturaleza, una función de la posición, pero esta forma requiere la derivada temporal de la energía potencial.

Necesitamos tomar una derivada, pero no estamos limitados a tomar la derivada del tiempo. La opción obvia: convertir la ecuación para tomar la derivada con respecto a la posición.

$$\frac{d(E_k)}{ds} = \frac{d(-E_p)}{ds}$$

el término$\frac{d(E_k)}{ds}$se simplifica fácilmente:

$$\frac{d(\tfrac{1}{2}mv^2)}{ds} = \tfrac{1}{2}m\left( 2v\frac{dv}{ds} \right) = m\frac{ds}{dt}\frac{dv}{ds} = m\frac{dv}{dt} = ma$$

El lema de Jacob
y su relevancia para la ecuación de Euler-Lagrance

Hay un lema en el cálculo variacional, establecido por primera vez por Jacob Bernoulli (en una respuesta anterior, propuse llamarlo 'Lema de Jacob').

Cuando Johann Bernoulli presentó el problema de la braquistocrona a los matemáticos de la época, Jacob Bernoulli fue uno de los pocos que lo resolvió. El tratamiento de Jacob Bernoulli está en Acta Eruditorum , mayo de 1697, pp. 211-217

Jacob abre su tratamiento con una observación sobre el hecho de que la curva que se busca es un mínimo.

Lema. Sea ACEDB la curva deseada a lo largo de la cual cae un punto pesado de A a B en el menor tiempo, y sean C y D dos puntos tan próximos entre sí como queramos. Entonces el segmento de arco CED es entre todos los segmentos de arco con C y D como puntos finales el segmento que un punto pesado que cae de A atraviesa en el menor tiempo. De hecho, si otro segmento del arco CFD fuera atravesado en un tiempo más corto, entonces el punto se movería a lo largo de AGFDB en un tiempo más corto que a lo largo de ACEDB, lo cual es contrario a nuestra suposición.

Supongo que el lema de Jacob se generaliza a todo el cálculo variacional.

Si la curva como un todo es un extremo, entonces cada subsección también es un extremo, hasta las subsecciones infinitesimalmente cortas. Por tanto, la condición para una curva que es un extremo también se puede expresar como una ecuación diferencial.

La ecuación de Euler-Lagrange aprovecha esta propiedad. La ecuación de Euler-Lagrange toma un problema planteado en términos de cálculo variacional y lo reformula en términos de cálculo diferencial.

Acción estacionaria de Hamilton

La acción estacionaria de Hamilton toma un problema de mecánica y utiliza el teorema del trabajo y la energía para reformularlo en términos de cálculo variacional. Luego se utiliza la ecuación de Euler-Lagrange para devolver la forma del problema al cálculo diferencial.