¿La amplitud de la integral de trayectoria es una función de onda?

Si de alguna manera pudiera escribir el hamiltoniano que describe el comportamiento de la doble rendija, seguramente mi función de onda, y por lo tanto mi integral de trayectoria, resolvería la ecuación de Schrödinger.

Interesante pregunta, y la respuesta es sí. Creo que quizás la razón más directa es que, como dices, suponiendo que conocemos el hamiltoniano apropiado$H$, el estado del sistema que ha escrito evoluciona en el tiempo de acuerdo con el operador de evolución temporal unitario, que opera en las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Eso es,

para$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$.

En este artículo, muestran cómo se deriva la ecuación de Schrödinger a partir de la evolución temporal de un estado cuántico genérico, que es lo que has propuesto. Aquí hay mucho formalismo, pero lo que en última instancia es la tarea seria es encontrar ese hamiltoniano que produzca predicciones sensatas para el experimento de la doble rendija. Aquí hay una pregunta muy relacionada.

Diré algo a la pregunta general y luego abordaré la pregunta de la doble rendija más directamente. Siéntase libre de saltar a la parte II. También estoy ignorando todas las constantes al elegir las unidades apropiadas.

I. Observaciones generales

Como señaló otro comentarista, de hecho, la integral de trayectoria y el formalismo de Schroedinger están interrelacionados, en el siguiente sentido: Considere un sistema con un hamiltoniano$H = H(p,x)$, donde en la derecha hemos expresado el operador de Hamilton como una función de operador de cantidad de movimiento$p$y posición$x$, p.ej

$H(p,x) = p^2 + V(x).$

Entonces, si "descuantificamos" este hamiltoniano para obtener una función hamiltoniana clásica, y si este hamiltoniano clásico es cuadrático en las variables de momento, podemos a partir de ahí calcular el funcional de acción clásico

$S[x(t)] = \int ( p(t) \dot{x}(t) - H(p(t),x(t))) dt$

dónde$p(t)$se expresa en términos de$x(t)$y$\dot{x}(t)$.

La afirmación es ahora que si$U(x_f,t_f;x_i,t_i)$es la amplitud de transición de una partícula que se propaga desde una posición inicial$x_i$en el momento$t_i$a un puesto final$x_f$en el momento$t_f$, entonces, por un lado, satisface la ecuación de Schroedingers:

$\left[- i \frac{\partial}{\partial t} + H( - i \partial_x,x) \right] U(x,t;x_i,t_i) = 0$

Por otro lado, esta amplitud de transición se da como una integral de trayectoria

$U(x_f,t_f;x_i,t_i) = \int_{x(t_i) = x_i}^{x(t_f) = t_f} D[x(t)] e^{ i S[x(t)]} .$

II. Estuche de doble ranura

De hecho, no es difícil escribir el caso de Schroedinger para este problema. Para esto, recuerde que en la representación de posición, es solo una ecuación diferencial parcial, y vienen con una elección de condición de contorno. Es decir, podemos modelar la doble rendija mediante la siguiente PDE

$i \frac{\partial}{\partial t} \psi_t(x) = - \nabla^2 \psi_t(x)$

sujeto a las condiciones de contorno

$\psi(t,x) = 0 \text{ for } x \in D$

aquí,$D$es la región donde se encuentra la doble rendija. Por ejemplo, podemos decir que

$D = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x = 0, |y| < 1 OR |y| > 2 \}$

que corresponde a las rendijas que se encuentran en el$yz$-plano, estando infinitamente extendido en el$z$dirección y se extiende desde$y=-2$a$y = -1$y de$y = 1$a$y = 2$.

De manera similar, puede usar la ruta integral con acción funcional

$S[x(t)] = \int \dot{x}^2(t) d t$

tenga en cuenta, sin embargo, que aquí no integramos sobre todas las rutas, sino solo sobre los mapas$x:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^3 - D$; es decir, consideramos solo aquellos caminos que pasan por las rendijas.

Sin embargo, esto no es demasiado útil, ya que ambas descripciones no son muy fáciles de resolver. La ecuación de Schroedinger no debería ser demasiado difícil de resolver en una computadora, y la integral de trayectoria permite algunos semiclásicos, lo que creo que se hace en el libro de Feynman sobre integración de trayectoria.