¿Cómo entra el espín en el enfoque integral de trayectoria de la mecánica cuántica?

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¿Cómo entra el espín en el enfoque integral de trayectoria de la mecánica cuántica?

EtaZetaTheta

Estoy tratando de entender cómo motivar la mecánica cuántica mediante el uso de integrales de trayectoria. Debido a que el enfoque de la integral de trayectoria proporciona una conexión tan directa con la mecánica clásica (a través del principio de acción mínima), y debido a que proporciona una comprensión física tan directa de la diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica, creo que es una lente realmente valiosa a través de la cual comprender la teoría cuántica. Sin embargo, tengo algunas dificultades conceptuales con respecto a la introducción del giro.

El problema es el siguiente: supongamos que no sabemos nada acerca de la mecánica cuántica, excepto que el espacio de estados es un espacio de Hilbert complejo cuyo producto interno asigna estados cuánticos a amplitudes de probabilidad. Dado que un sistema se encuentra en algún estado cuántico $|\psi,t_0\rangle$ , podemos escribir el estado del sistema en algún momento futuro $t$ como

| ψ, t ⟩ = \hat{tu} (t, t_{0}) | ψ, t_{0} ⟩ .

$|\psi,t\rangle = \hat{U}(t,t_0)|\psi,t_0\rangle.$ Lo sabemos

\hat{U}

$\hat{U}$ debe ser un operador unitario debido a la interpretación probabilística del producto interno

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle\psi|\psi\rangle$ , y por lo tanto que

tu (t_{0}, t) = {tu}^{†} (t, t_{0}) .

$U(t_0,t) = U^\dagger(t,t_0).$ Derivando con el tiempo tenemos que

\frac{\partial}{\partial t} | ψ, t ⟩ = \frac{\partial \hat{tu} (t, t_{0})}{\partial t} | ψ, t_{0} ⟩ = \frac{\partial \hat{tu} (t, t_{0})}{\partial t} {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) | ψ, t ⟩ .

$\frac{\partial}{\partial t}|\psi,t\rangle = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}|\psi,t_0\rangle = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\psi,t\rangle.$ Si definimos el operador

Λ (t, t_{0}) = \frac{\partial \hat{tu} (t, t_{0})}{\partial t} {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}),

$\Lambda(t,t_0) = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t,t_0),$ podemos mostrar (usando sólo la unitaridad de

\hat{U}

$\hat{U}$ eso

Λ (t, t_{0})

$\Lambda(t,t_0)$ es a.) independiente de

t_{0}

$t_0$ yb.) anti-hermitiano. Luego definimos el operador

H (t) = i ℏ Λ (t),

$H(t) = i \hbar \Lambda(t),$ tal que la evolución temporal de un estado cuántico viene dada por la ecuación de Schrödinger como

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | ψ, t ⟩ = H (t) | ψ, t ⟩ .

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi,t\rangle = H(t)|\psi,t\rangle.$ Ahora todo lo que queda es determinar el operador

H (t)

$H(t)$ . Podríamos simplemente postular la forma de este operador, pero en su lugar usaremos el enfoque de la integral de trayectoria como postulado y derivaremos la forma de

H (t)

$H(t)$ desde allí. Suponemos que los elementos de la matriz del operador unitario de evolución temporal

\hat{U} (t, t_{0}

$\hat{U}(t,t_0$ son dados por

⟨ \vec{r} | \hat{tu} (t, t_{0}) | {\vec{r}}_{0} ⟩ = \int D \vec{r} {mi}^{\frac{i}{ℏ} S [\vec{r} (t)]},

$\langle\vec{r}|\hat{U}(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle = \int\mathcal{D}\vec{r}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]},$ dónde

S

$S$ es la acción clásica y

\int D \vec{r}

$\int\mathcal{D}\vec{r}$ denota integración (como quiera que se defina) sobre el espacio de caminos que conectan los puntos del espacio-tiempo

(t_{0}, {\vec{r}}_{0})

$(t_0,\vec{r}_0)$ y

(t, \vec{r})

$(t,\vec{r})$ . Usando este postulado, podemos escribir los elementos de la matriz del operador

H (t)

$H(t)$ como

\begin{aligned} ⟨ \vec{r} | H (t) | {\vec{r}}_{0} ⟩ & = i ℏ \int d {\vec{r}}^{'} \frac{\partial}{\partial t} [⟨ \vec{r} | \hat{tu} (t, t_{0}) | {\vec{r}}^{'} ⟩] ⟨ {\vec{r}}^{'} | {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) | {\vec{r}}_{0} ⟩, \\ = i ℏ \int d {\vec{r}}^{'} \frac{\partial}{\partial t} [\int D \vec{r} {mi}^{\frac{i}{ℏ} S [\vec{r} (t)]}] ⟨ {\vec{r}}^{'} | {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) | {\vec{r}}_{0} ⟩, \\ = i ℏ \int d {\vec{r}}^{'} [\int D \vec{r} \frac{\partial}{\partial t} {mi}^{\frac{i}{ℏ} S [\vec{r} (t)]}] ⟨ {\vec{r}}^{'} | {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) | {\vec{r}}_{0} ⟩, \\ = i ℏ \int d {\vec{r}}^{'} [\int D \vec{r} \frac{i}{ℏ} \frac{\partial S}{\partial t} {mi}^{\frac{i}{ℏ} S [\vec{r} (t)]}] ⟨ {\vec{r}}^{'} | {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) | {\vec{r}}_{0} ⟩, \\ = \int d {\vec{r}}^{'} [\int D \vec{r} (- \frac{\partial S}{\partial t}) {mi}^{\frac{i}{ℏ} S [\vec{r} (t)]}] ⟨ {\vec{r}}^{'} | {\hat{tu}}^{†} (t, t_{0}) | {\vec{r}}_{0} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align}\langle\vec{r}|H(t)|\vec{r}_0\rangle &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\frac{\partial}{\partial t}\left[\langle\vec{r}|\hat{U}(t,t_0)|\vec{r}'\rangle\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\frac{\partial}{\partial t}\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\frac{\partial}{\partial t}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial t}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= \int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\left(-\frac{\partial S}{\partial t}\right)\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle.\end{align}$

Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi nos dicen que $-\frac{\partial S}{\partial t}$ es simplemente igual al hamiltoniano. Ahora tengo dos preguntas relacionadas:

1.) En términos generales, las funciones en el espacio de fases que aparecen dentro de una integral de trayectoria corresponden a operadores que aparecen fuera de la integral de trayectoria. ¿Se puede hacer lo mismo con la cantidad? $-\frac{\partial S}{\partial t}$ a través del uso adecuado de la resolución de la identidad?

2.) Si es así, entonces esta ecuación parecería derivar la forma funcional del operador $H(t)$ como el hamiltoniano clásico con la sustitución habitual $(\vec{r},\vec{p})\rightarrow(\hat{\vec{r}},-i\hbar\vec{\nabla})$ . Sin embargo, el hamiltoniano cuántico a menudo contiene operadores de espín que (que yo sepa) no tienen análogos clásicos. ¿Cómo entran los operadores de espín en $H(t)$ en este formalismo?

usuario1379857

Puede encontrar un conjunto de notas amigables para aquellos interesados en esta pregunta aquí hitoshi.berkeley.edu/221a/spin.pdf

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¿Cómo entra el espín en el enfoque integral de trayectoria de la mecánica cuántica?

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mike piedra · Answer 1

Existe una extensa literatura sobre integrales de trayectoria para espín. Por lo general, se derivan utilizando la teoría de estados coherentes generalizados. No estoy seguro de cuál es un buen punto de entrada al tema. Puedo anunciar uno de mis propios artículos: arXiv:cond-mat/0111139, pero quizás el mejor punto de partida sea el artículo de Kaluder (JR Klauder, Ann. Phys. (NY), 11, 123 (1960)) si tiene acceder a él.

Se trata de señalar que el espín cuántico tiene análogos clásicos. Consulte las secciones sobre giro (cerca de las páginas 54, 254 y 259) en mis notas de clase en línea en https://courses.physics.illinois.edu/phys509/sp2017/

Enlaces permanentes: arxiv.org/abs/cond-mat/0111139 , doi.org/10.1016/0003-4916(60)90131-7

usuario1379857 · Answer 2

Como probablemente sepa, hay dos temas diferentes, a menudo denominados "mecánica cuántica" y "teoría cuántica de campos". Están estrechamente relacionados (es decir, QFT es justo lo que sucede cuando cuantificas un campo) pero no son lo mismo.

La integral de ruta es más útil en QFT, donde se pueden usar algunos trucos simples para derivar las reglas de Feynman. También se puede usar un enfoque de integral de trayectoria para derivar la mecánica cuántica regular, aunque generalmente no es particularmente útil.

Dentro del contexto de la mecánica cuántica de partículas individuales, el espín debe integrarse en la configuración de manera ad-hoc. La noción de giro surge un poco más naturalmente en QFT.

Habiendo dicho todo eso, ciertamente hay una generalización de la integral de trayectoria que "producirá" giro, incluso en la mecánica cuántica de una sola partícula. Sin embargo, es bastante raro.

Básicamente, hay algo que has dado por sentado toda tu vida: las variables se desplazan. No me refiero a operadores, me refiero a variables. Es decir, si tienes dos números $a$ y $b$ , entonces $ab = ba$ . $a$ y $b$ pueden ser ubicaciones en el espacio, por ejemplo. Para configurar su integral de ruta para el giro, necesita usar variables anticonmutación . Es decir, variables donde ab = -ba . Matemáticamente hablando, esto requiere un "álgebra" que es "generada" por tales variables. A menudo se les conoce como "variables de Grassmann" y debe buscarlas.

No entraré en un curso completo sobre las variables de Grassmann, pero una discusión (generalmente insatisfactoria) de ellas generalmente está oculta en muchos libros introductorios de QFT.

Básicamente, lo que sucede es que defines "mecánica pseudoclásica" con estas variables de Grassmann usando un corchete anti-Poisson en lugar del corchete de Poisson habitual que se usa en la mecánica clásica. (Busque "Mecánica hamiltoniana" si no sabe nada de esto). Tras la cuantificación, o la integral de trayectoria, obtiene su buen sistema cuántico de espín antiguo.

En otras palabras, esta es definitivamente un área donde la integral de trayectoria es una forma mucho más complicada de hacer las cosas.

En su configuración, solo tiene que incluir estas mecánicas "pseudo-clásicas" en su camino integral junto con sus mecánicas clásicas regulares.

(Una nota al margen: en el contexto de QFT, la integral de ruta realizada de la manera habitual generará un campo "bosónico" y la integral de ruta realizada con variables de Grassman generará un campo "fermiónico", por lo que si analiza este tema, A veces lo veré referido como una integral de trayectoria "fermiónica".)

He hecho que estas variables de Grassmann parezcan bastante confusas, pero en realidad no son tan malas. No se sienta demasiado intimidado por ellos.

Lo siento, mi respuesta fue larga y divagante, ¡pero hiciste una pregunta muy complicada!

" a menudo se denomina "mecánica cuántica" y "teoría del campo cuántico". QFT se basa en todos los postulados de la mecánica cuántica.
¡Gracias por tu respuesta! Solo tengo una familiaridad pasajera con QFT, pero he oído hablar de las variables de Grassmann y las integrales de ruta fermiónica, y su respuesta me dio una buena intuición sobre esos conceptos, que realmente aprecio.

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