Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo a partir del principio variacional

Question

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo a partir del principio variacional

Física
integral de trayectoria
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger
principio variacional
teoría funcional de la densidad

usuario26143

En el artículo, "Teoría funcional de la densidad para sistemas dependientes del tiempo" Physical Review Letters 52 (12): 997 , los autores mencionaron que la acción

\begin{matrix} (1) & A = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t ⟨ Φ (t) | i ℏ \partial / \partial t - \hat{H} (t) | Φ (t) ⟩ \end{matrix}

$A= \int_{t_0}^{t_1} \mathrm dt \langle \Phi(t) | i \hbar\;\partial / \partial t - \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle \tag{1}$

proporciona la solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en su punto estacionario. Wikipedia llamó (1) como la acción de Dirac sin más referencias.

Si hago una variación, de hecho el punto de acción estacionario (1) da

i ℏ \partial / \partial t | Φ (t) ⟩ = \hat{H} (t) | Φ (t) ⟩

$i \hbar\;\partial / \partial t | \Phi(t) \rangle = \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle$

Sin embargo, desde el punto de vista de la integral de trayectoria, el principio de acción mínima es solo un caso límite cuando $\hbar \rightarrow 0$ . En general, no existe un principio de acción mínima en la mecánica cuántica.

Mi pregunta es, ¿cómo conciliar estos dos aspectos? ¿Qué significa variar de acción (1)?

Sebastián Riese

Este es simplemente otro principio variacional, no necesariamente relacionado con la acción clásica. Del funcional variacional de Ritz

E [ψ] = \int d^{3} x ψ^{*} (x) H ψ (x)

$E[\psi] = \int d^3x \psi^*(x) H \psi(x)$ obtendrá la ecuación de Schrödigner independiente del tiempo, esta es solo una extensión natural de esto.

una mente curiosa

¿Cuál es exactamente la pregunta aquí? tu varías

(1)

$(1)$ , obtienes la ecuación de Schrödinger. ¿ Cuál es la pregunta sobre eso?

mikael kuisma

La acción es solo un término usado para cierto tipo de funcionales. La accion qm y la accion clasica son cosas diferentes, en espacios diferentes. Por lo tanto, no hay nada que resolver. (Suponiendo que entendí bien la pregunta)

Respuestas (2)

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo a partir del principio variacional

Este es simplemente otro principio variacional, no necesariamente relacionado con la acción clásica. Del funcional variacional de Ritz $E[\psi] = \int d^3x \psi^*(x) H \psi(x)$ obtendrá la ecuación de Schrödigner independiente del tiempo, esta es solo una extensión natural de esto.
¿Cuál es exactamente la pregunta aquí? tu varías $(1)$ , obtienes la ecuación de Schrödinger. ¿ Cuál es la pregunta sobre eso?
La acción es solo un término usado para cierto tipo de funcionales. La accion qm y la accion clasica son cosas diferentes, en espacios diferentes. Por lo tanto, no hay nada que resolver. (Suponiendo que entendí bien la pregunta)

donaldf · Answer 1

Definitivamente hay un principio de acción mínima en la mecánica cuántica, de hecho, el método de la integral de trayectoria se basa en él. La tesis doctoral de Feynman se titula: "el principio de mínima acción en la mecánica cuántica". Consulte, por ejemplo, http://cds.cern.ch/record/101498/files/?ln=en

Las respuestas de solo enlace generalmente están mal vistas, ya que los enlaces pueden, como diría yo, "morir". ¿Puedes explicar esto más?

Nogueira · Answer 2

Si estás interesado en un camino integral con la acción:

\begin{matrix} (1) & S = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t ⟨ Φ (t) | i ℏ \partial / \partial t - \hat{H} (t) | Φ (t) ⟩ \end{matrix}

$\mathcal{S}= \int_{t_0}^{t_1} dt \langle \Phi(t) | i \hbar\partial / \partial t - \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle \tag{1}$ entonces

Φ (k, t) = ⟨ k | Φ (t) ⟩

$\Phi(k, t)=\langle k| \Phi(t) \rangle$ ahora es un operador o una variable mude dentro de la integral de trayectoria. El puente entre el operador y el lenguaje integral de ruta es:

⟨ α | T (. . . \hat{Φ} (k, t) . . .) | β ⟩ = \int D ϕ (k, t) D \bar{ϕ} (k, t) (. . . ϕ (k, t) . . .) {mi}^{\frac{i}{ℏ} S}

$\langle \alpha|\mathcal{T}\left(...\hat{\Phi}(k,t)...\right)|\beta\rangle=\int \mathcal{D}\phi(k,t)\mathcal{D}\bar{\phi}(k,t)\left(...\phi(k,t)...\right)e^{\frac{i}{\hbar}\mathcal{S}}$

Y la Acción ahora se escribe como:

S = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \int d k \bar{ϕ} (k, t) (i ℏ \partial / \partial t - {\hat{H}}_{k} (t)) ϕ (k, t)

$\mathcal{S}= \int_{t_0}^{t_1} dt \int dk\, \bar{\phi}(k,t) ( i \hbar\partial / \partial t - \hat{H}_k(t) ) \phi(k, t)$ con

{\hat{H}}_{k} (t)

$\hat{H}_k(t)$ siendo un operador lineal actuando sobre funciones

ϕ (k, t)

$\phi(k,t)$ .

Esta es la segunda cuantización . Ahora tenemos una teoría cuántica de campos compleja. Tomando el momento canónico de los campos y usando la regla de cuantización de Dirac:

{[\hat{Φ} (k, t), {\hat{Φ}}^{†} (k^{'}, t^{'})]}_{\pm} = d (k^{'} - k) d (t^{'} - t)

$\left[\hat{\Phi}(k,t),\hat{\Phi}^{\dagger}(k',t')\right]_\pm=\delta(k'-k)\delta(t'-t)$ Esta es el álgebra de los operadores de aniquilación y creación . Debido a que la teoría es lineal (

L

$\mathcal{L}$ bilineal en

Φ

$\Phi$ ) el operador numérico

norte = \sum_{k} Φ (k, t)^{†} Φ (k, t)

$N=\sum_{k}\Phi(k, t)^{\dagger}\Phi(k, t)$ viaja con

H

$\mathcal{H}$ , el hamiltoniano relacionado con la acción

S

$\mathcal{S}$ . Esto implica que

N

$N$ es una constante de movimiento. La ecuación de Schrodinger (ecuación de movimiento) es obedecida por un operador de campo:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} \hat{Φ} (k, t) = {\hat{H}}_{k} (t) \hat{Φ} (k, t)

$i \hbar\frac{\partial}{\partial t} \hat{\Phi}(k,t)= \hat{H}_k(t)\hat{\Phi}(k,t)$ y si encuentra funciones propias de

u_{n} (k, t)

$u_n(k,t)$ Para el

{\hat{H}}_{k} (t)

$\hat{H}_k(t)$ tenemos:

\hat{Φ} (k, t) = \sum_{norte} {tu}_{norte} (k, t) {\hat{C}}_{norte}

$\hat{\Phi}(k,t)=\sum_{n}u_n(k,t)\hat{c}_n$

dónde $\hat{c}_n$ es el operador de aniquilación de una partícula. Ves que tu predicción sería la misma.

La pregunta se refiere a las historias que no obedecen a la ecuación clásica del movimiento de la acción. Aquí muestro que estas historias solo nos dan una descripción donde el número de partículas puede ser dinámico. Pero, debido a que tenemos una simetría (solo términos bilineales), tenemos una simetría que es la conservación del número de partículas. Entonces, prácticamente tenemos lo mismo pero con diferentes descripciones.

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo a partir del principio variacional

usuario26143

Sebastián Riese

una mente curiosa

mikael kuisma

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donaldf

HDE 226868

Nogueira

una mente curiosa

Nogueira

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