Justificación del Principio de Acción Mínima utilizando la conservación de la información

1. En el formalismo lagrangiano sobre el espacio de caminos on-shell en el espacio de configuración , hay un análogo al flujo hamiltoniano y el teorema de Liouville en el formalismo hamiltoniano en el espacio de fases , cf. por ejemplo, ref. 1 y la respuesta Phys.SE de Urs Schreiber aquí .

2. Ejemplo. Para un Lagrangiano de la forma$L=\frac{m}{2} \dot{q}^2-V(q)$, se puede mostrar, usando la ecuación de Euler-Lagrange (EL)$^1$

   $$\begin{align} m\ddot{q}~\approx~&-V^{\prime}(q)\cr ~\Downarrow~& \cr m\delta \ddot{q}~\approx~&-V^{\prime\prime}(q)\delta q,\end{align}\tag{A}$$ que la forma 2 $$\omega~=~ m \delta \dot{q} \wedge \delta q\tag{B}$$ es una constante de movimiento (COM), $$\dot{\omega}~\stackrel{(B)}{=}~ m \delta \ddot{q}\wedge\delta q ~\stackrel{(A)}{\approx}~0,\tag{C}$$ cf. ecuaciones (14) y (15) en la Ref. 1. Sabiendo que el hamiltoniano correspondiente es simplemente$H=\frac{p^2}{2m}+V(q)$, esto quizás no sea tan sorprendente.

3. Pero en general, para un Lagrangiano arbitrario$L(q,\dot{q},t)$, usando las ecuaciones EL

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}~\approx~\frac{\partial L}{\partial q^k} \tag{D}$$ y sus consecuencias $$\begin{align} \frac{d}{dt}&\left(\delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial\dot{q}^k}+\delta \dot{q}^j\frac{\partial^2L}{\partial \dot{q}^j\partial\dot{q}^k}\right)\cr ~\approx~&\delta q^j\frac{\partial^2 L}{\partial q^j\partial q^k}+\delta \dot{q}^j\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^j\partial q^k},\end{align} \tag{E}$$ uno puede mostrar que la forma 2 $$\begin{align}\omega ~=~&\delta\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right)\wedge\delta q^k\cr ~=~&\left( \delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial \dot{q}^k} + \delta \dot{q}^j\frac{\partial^2L}{\partial \dot{q}^j\partial \dot{q}^k}\right)\wedge\delta q^k\end{align}\tag{F}$$ es un COM $$\begin{align}\dot{\omega}~\stackrel{(F)}{=}~&\frac{d}{dt}\left( \delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial \dot{q}^k} + \delta \dot{q}^j\frac{\partial^2L}{\partial \dot{q}^j\partial \dot{q}^k}\right)\wedge\delta q^k \cr &+ \delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial \dot{q}^k} \wedge\delta \dot{q}^k\cr ~\stackrel{(E)}{\approx}~&0.\end{align}\tag{G}$$ En este sentido el volumen/información se conserva también en el marco lagrangiano.

Referencias:

1. C. Crnkovic & E. Witten, Descripción covariante del formalismo canónico en teorías geométricas. Publicado en Trescientos años de gravitación (Eds. SW Hawking y W. Israel), (1987) 676.

2. N. Reshetikhin, Lectures on quantization of gauge systems, arXiv:1008.1411 ; Subsección 3.2.1.

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$^1$Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad módulo las ecuaciones EL, es decir, en la cáscara.

El espacio de todas las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange en el espacio de configuración es equivalente al espacio de fase. De hecho, dada una condición inicial (que consiste en una posición y una velocidad) existe una solución única y (suponiendo una masa total fija) la velocidad determina el impulso. Por lo tanto, los puntos del espacio de fase (es decir, los pares de vectores de posición y momento) están en correspondencia 1-1 con el conjunto de todas las soluciones.

Como señala Ron Maimon, esta descripción del espacio de fase tiene la ventaja de que no señala un tiempo específico; del espacio de todas las soluciones se puede obtener una descripción tradicional del espacio de fases en un momento arbitrario considerando la solución y su primera derivada (tiempo la masa) en ese momento.

Esta es una ventaja decisiva en formulaciones covariantes de teorías relativistas donde el espacio y el tiempo deberían aparecer en pie de igualdad. Por lo tanto, el espacio de fase descrito en términos de soluciones también se denomina espacio de fase covariante. El espacio de fase covariante lleva una forma simpléctica natural y un corchete de Poisson asociado llamado corchete de Peierls . Véase, por ejemplo,

• C. Crnkovic, Geometría simpléctica del espacio de fase covariante. Gravedad clásica y cuántica, 5 (1988), 1557.

y los hilos de Physics SE aquí y aquí .

Probablemente esto no sea tan riguroso como la respuesta que está buscando, pero permítame sugerirle que simplemente podría trazar una pequeña cantidad de puntos en un espacio de fase simple, con la posición en una dimensión espacial en su eje x y el momento en el eje y. Comience con (0,0), (0,1) y (1,0) para hacerlo simple. Si comienza con el teorema de Liouville, que el área definida por estos puntos no puede aumentar a medida que evoluciona, puede ver que cualquier arreglo que aumente el área definida por sus puntos tendrá que implicar un cambio de impulso sin motivo o un cambio de posición, sin impulso para dar cuenta de ello. Esas serían las características de la violación del principio de acción mínima. Entonces podrías generalizarlo y hacerlo mucho más riguroso, por supuesto. podría estar equivocado,