Principio de acción, mecánica lagrangiana, mecánica hamiltoniana y leyes de conservación al asumir la mecánica aristotélica F=mvF=mvF=mv

A diferencia de la mecánica newtoniana

Para empezar no tienes$\vec F~=~m\vec v$solo por razones dimensionales. en lugar de masa$m$podríamos usar$\vec F_v~=~\sigma\vec v$. Esta es una fuerza debida a la viscosidad o la fricción. Entonces podemos escribir una energía potencial usando el teorema de trabajo-energía$\int\vec F_v\cdot d\vec r$ $=~\sigma\int\vec v\cdot d\vec r$. Porque$\vec v~=~d\vec r/dt$tenemos$W~=~\sigma\int\vec v\cdot\vec v dt$. Ahora definimos un tipo de potencial$U~=~-W$.

Todo se ve bien, pero hay un problema. volvamos a$\int\vec F_v\cdot d\vec r$y considere la integración alrededor de un bucle de radio constante$R$. La variable de integración es el ángulo$\theta$de modo que$d\vec r~=~R\vec\theta d\theta$. Claramente entonces$\vec v\cdot d\vec r$ $=~R^2\omega d\theta$para la velocidad$\vec v~=~R\omega\vec\theta$por una constante$\omega$velocidad angular. Esto significa que la integración cerrada es

La fuerza$\vec F_v~=~\sigma\vec v$no es conservativo e indica que se le está quitando energía y acción o momento angular, por$\sigma~<~0$, o para este positivo significa que hay alguna fuente de energía o un "torque" que introduce un momento angular (acción) en el sistema.

La mecánica aristotélica con "fuerzas" conservativas se puede escribir como$m\dot{\vec{x}}+\vec{\nabla}L=0$, donde he indicado el potencial$L$en lugar de$V$porque su dimensión es la del momento angular, y no quiero que la gente diga "no puedes hacer eso debido al análisis dimensional". Las ecuaciones de Euler-Lagrange de primer orden se pueden lograr introduciendo una variable auxiliar, a saber.$L=\vec{y}\cdot\left(m\dot{\vec{x}}+\vec{\nabla}L\right)$. Vale la pena cambiar esto por una derivada total para hacer$\vec{y}$dinámica, a saber.$L=\vec{y}\cdot\vec{\nabla}L-m\vec{x}\cdot\dot{\vec{y}}$. (La ecuación de Schrödinger se puede obtener de un Lagrangiano en el que la "variable auxiliar" es$\psi^\ast$, porque los números complejos permiten ese truco de "no inventes nada nuevo". El desplazamiento por una derivada total se justifica en ese caso por un deseo de hermiticidad.)

Variar$\vec{y}$nos da el ELE que queremos. (Para completar, variando$x_i$Nos da$\sum_jy_j\partial_i\partial_j L-m\dot{y}_i=0$con$\partial_i:=\frac{\partial}{\partial x_i}$, es decir$m\dot{\vec{y}}-\vec{\nabla}\left(y\cdot\vec{\nabla}L\right)=0$.) Dejaré como ejercicio la adición de términos para fuerzas no conservativas, en analogía de cómo esto logra una formulación lagrangiana de la mecánica newtoniana con fuerzas no conservativas.

Eugene Wigner discutió las simetrías y las leyes de conservación de la física aristotélica en el artículo muy breve Leyes de conservación en la física clásica y cuántica . Las leyes habituales de conservación no se cumplen.