Una masa colgada debajo de una mesa: un problema de Goldstein [cerrado]

Question

Una masa colgada debajo de una mesa: un problema de Goldstein [cerrado]

AnatolyVorobey

Estoy tratando de resolver el Problema 1.19 del Capítulo 1 de Goldstein (2da edición) y me estoy atascando en trigonometría (?). ¡Por favor, ayúdame a descubrir qué estoy haciendo mal!

Dos puntos de masa de masa $m_1$ y $m_2$ están conectados por una cuerda que pasa a través de un agujero en una mesa lisa de modo que $m_1$ descansa sobre la mesa y $m_2$ cuelga suspendido. Asumiendo $m_2$ se mueve solo en una línea vertical, ¿cuáles son las coordenadas generalizadas para el sistema? Escriba las ecuaciones de Lagrange para el sistema y, si es posible, discuta el significado físico que podría tener cualquiera de ellas. Reduzca el problema a una única ecuación diferencial de segundo orden y obtenga una primera integral de la ecuación. ¿Cuál es su significado físico? (Considere la moción sólo mientras ninguno de los dos $m_1$ ni $m_2$ pasa por el agujero).

Estoy tratando de encontrar el Lagrangiano tan rigurosamente como puedo. Parece que la intención del problema es establecer la longitud constante de la cuerda como una restricción y las fuerzas de tensión en ambos puntos como fuerzas de restricción que pueden despreciarse al dibujar el Lagrangiano. Pero no puedo demostrar que puedo ignorarlos.

Sea el origen en el agujero, y $\mathbf{r}_1$ , $\mathbf{r}_2$ sean los vectores de posición de los dos puntos. Asumo como sabido que la tensión $T$ es igual en ambos extremos de la cuerda. Entonces si el ángulo polar del primer punto es $\phi$ , la fuerza de tensión en el primer punto es $(F_{1x},F_{1y}) = (-T\cos\phi,-T\sin\phi)$ y en el segundo punto $F_{2z} = -T$ , enumerando solo coordenadas no triviales. La ecuación holonómica de restricción es $|\mathbf{r}|_1+|\mathbf{r}_2| = R$ dónde $R$ es la longitud constante de la cuerda.

Claramente, las fuerzas de tensión no son como la fuerza normal de restricción de la tabla en el primer punto, que simplemente desaparece porque es ortogonal a la velocidad. Las fuerzas de tensión realizan un trabajo virtual distinto de cero en cada partícula, pero parece que debería poder demostrar que, al igual que con un cuerpo rígido, debido a la tercera ley de Newton, se desvanecen cuando se suman sobre las partículas. En otras palabras, debo probar que el principio de d'Alambert se cumple en el sistema: el trabajo virtual neto de las fuerzas de restricción es cero .

Dejar $\delta\mathbf{r_1} = (\delta r_1,\psi)$ (en coordenadas polares) y $\delta\mathbf{r_2} = \delta r_2$ ser desplazamientos virtuales de los dos puntos consistentes con las restricciones. El trabajo virtual total de las dos fuerzas de restricción es entonces

- T porque ϕ (d r_{1} porque ψ) - T pecado ϕ (d r_{1} pecado ψ) - T d r_{2} = T d r_{1} porque (ϕ - ψ) + T d r_{2} = 0

$-T\cos\phi(\delta r_1\cos\psi)-T\sin\phi(\delta r_1\sin\psi)-T\delta r_2 = T\delta r_1\cos(\phi-\psi) + T\delta r_2 = 0$ y debo mostrar que esto es válido si

(δ r_{1}, δ r_{2})

$(\delta\mathbf{r_1},\delta\mathbf{r_2})$ satisfacer la ecuación de restricción, lo que significa que las diferencias de longitud entre los vectores de posición deben coincidir:

| r_{1} + d r_{1} | - | r_{1} | = - (| r_{2} + d r_{2} | - | r_{2} |)

$|\mathbf{r_1}+\delta r_1|-|\mathbf{r_1}| = -(|\mathbf{r_2}+\delta r_2|-|\mathbf{r_2}|)$ El lado derecho es solo el escalar.

- δ r_{2}

$-\delta r_2$ , pero el lado izquierdo no se simplifica tan fácilmente. Usando las coordenadas polares

(r, ϕ)

$(r,\phi)$ parece reducirse a

\sqrt{(r porque ϕ + d r_{1} porque ψ)^{2} + (r pecado ϕ + d r_{1} pecado ψ)^{2}} - r = \sqrt{r^{2} + d r_{1}^{2} + 2 r d r_{1} porque (ϕ - ψ)} - r

$\sqrt{(r\cos\phi+\delta r_1\cos\psi)^2+(r\sin\phi+\delta r_1\sin\psi)^2}-r = \sqrt{r^2+\delta r_1^2 + 2r\delta r_1\cos(\phi-\psi)}-r$ y ahora estoy atascado. Parece que necesito probar

- δ r_{2} = δ r_{1} \cos (ϕ - ψ)

$-\delta r_2 = \delta r_1\cos(\phi-\psi)$ , para que las fuerzas hagan trabajo virtual cero juntas. En el caso especial

ψ = ϕ

$\psi=\phi$ , cuando el primer punto se mueve en línea recta hacia el origen, la raíz cuadrada anterior se simplifica,

r

$r$ se desvanece, y consigo lo deseado

δ r_{1} = - δ r_{2}

$\delta r_1 = -\delta r_2$ . Pero no veo cómo puedo suponer eso, y de hecho parece físicamente incorrecto si, por ejemplo, el primer punto tiene una velocidad inicial en el

y

$y$ dirección.

¿Qué estoy haciendo/calculando/asumiendo mal?

kyle kanos

Tenga en cuenta que Physics.StackExchange no es un sitio de ayuda con la tarea. Lea esta publicación Meta sobre cómo hacer preguntas similares a la tarea y esta publicación Meta sobre problemas de "revisar mi trabajo" .

AnatolyVorobey

Kyle, gracias por llamar mi atención sobre estos. Habiendo leído estos temas, espero que mi pregunta pueda mantenerse, por las siguientes razones: no es una tarea asignada (estoy estudiando por mi cuenta del libro), creo que posiblemente apunta a un malentendido conceptual en lugar de un mero error de cálculo, y Traté de mostrar mi intento en profundidad. Si cree que se puede mejorar para que sea más útil, hágamelo saber.

AnatolyVorobey

@Timaeus Después de leer diferentes fuentes sobre desplazamientos virtuales y trabajo virtual, creo que encontré mi error e intenté responder la pregunta por mí mismo; agradecería confirmación/crítica/formas de mejorar la respuesta, si corresponde.

Arkya

@AnatolyVorobey Este es, a veces, el problema con SE, estas personas llaman a las dudas conceptuales legítimas "ayuda con la tarea".

Respuestas (1)

Una masa colgada debajo de una mesa: un problema de Goldstein [cerrado]

Tenga en cuenta que Physics.StackExchange no es un sitio de ayuda con la tarea. Lea esta publicación Meta sobre cómo hacer preguntas similares a la tarea y esta publicación Meta sobre problemas de "revisar mi trabajo" .
Kyle, gracias por llamar mi atención sobre estos. Habiendo leído estos temas, espero que mi pregunta pueda mantenerse, por las siguientes razones: no es una tarea asignada (estoy estudiando por mi cuenta del libro), creo que posiblemente apunta a un malentendido conceptual en lugar de un mero error de cálculo, y Traté de mostrar mi intento en profundidad. Si cree que se puede mejorar para que sea más útil, hágamelo saber.
@Timaeus Después de leer diferentes fuentes sobre desplazamientos virtuales y trabajo virtual, creo que encontré mi error e intenté responder la pregunta por mí mismo; agradecería confirmación/crítica/formas de mejorar la respuesta, si corresponde.
@AnatolyVorobey Este es, a veces, el problema con SE, estas personas llaman a las dudas conceptuales legítimas "ayuda con la tarea".

AnatolyVorobey · Answer 1

Voy a responder a mi propia pregunta.

El error clave que cometí fue no comprender la naturaleza de los desplazamientos virtuales. Cuando se definen los desplazamientos virtuales, generalmente se dice que son "consistentes con las restricciones", y ahora creo que esta frase es muy fácil de malinterpretar. La forma en que lo entendí mal en mi pregunta es cuando escribí

y debo mostrar que esto es válido si $(\delta\mathbf{r_1},\delta\mathbf{r_2})$ satisfacer la ecuación de restricción, lo que significa que las diferencias de longitud entre los vectores de posición deben coincidir:
$| r_{1} + d r_{1} | - | r_{1} | = - (| r_{2} + d r_{2} | - | r_{2} |)$ $|\mathbf{r_1}+\delta r_1|-|\mathbf{r_1}| = -(|\mathbf{r_2}+\delta r_2|-|\mathbf{r_2}|)$

El error clave está en imaginar que después de ser movidos por un desplazamiento virtual, los vectores de posición de las partículas aún deben satisfacer la ecuación de restricción . Esto está mal . Los desplazamientos virtuales en general no dejan que el sistema siga satisfaciendo las restricciones, como sugeriría una lectura ingenua de "consistente con las restricciones".

Un ejemplo ilustrativo simple es una sola partícula restringida para moverse en la superficie de una esfera. Si consideramos un desplazamiento virtual de la partícula en cualquier posición dada $\mathbf{r}$ , no es un vector $\delta\mathbf{r}$ tal que $\mathbf{r}+\delta\mathbf{r}$ todavía está en la esfera! no, es un vector $\delta\mathbf{r}$ acostado en el plano tangente a la esfera en el punto $\mathbf{r}$ , de modo que $\mathbf{r}+\delta\mathbf{r}$ está definitivamente fuera de la esfera!

La forma correcta de calcular las restricciones sobre los desplazamientos virtuales es la siguiente. Para cada ecuación holonómica de restricción de la forma $f(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_n,t)=0$ , los desplazamientos virtuales $\delta\mathbf{r}_1,...\delta\mathbf{r}_n$ están restringidas por la ecuación

\nabla_{r_{1}} F \cdot d r_{1} + . . . + \nabla_{r_{norte}} F \cdot d r_{norte} = 0

$\nabla_{r_1}f\cdot\delta\mathbf{r}_1+...+\nabla_{r_n}f\cdot\delta\mathbf{r}_n=0$ (y no en absoluto por la ecuación completamente incorrecta

f (r_{1} + δ r_{1}, . . ., r_{n} + δ r_{n}, t) = 0

$f(\mathbf{r}_1+\delta\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_n+\delta\mathbf{r}_n,t)=0$ que estaba tratando de usar en mi publicación).

Ahora corregiré el análisis en mi publicación y mostraré que, de hecho, las fuerzas de restricción no hacen ningún trabajo virtual. La ecuación holonómica de restricción es

F (r_{1}, r_{2}) = | r_{1} | + | r_{2} | - R = 0

$f(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = |\mathbf{r}_1|+|\mathbf{r}_2| -R = 0$ Denotemos por

x_{1}, y_{1}

$x_1,y_1$ el

x, y

$x,y$ coordenadas de la primera partícula y por

z_{2}

$z_2$ (siempre negativo) el

z

$z$ -coordenada de la segunda partícula. Entonces, ignorando las coordenadas que siempre desaparecen, tenemos:

r_{1} = | r_{1} | = \sqrt{X_{1}^{2} + y_{1}^{2}}, r_{2} = | r_{2} | = - z_{2}

$r_1=|\mathbf{r_1}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}, r_2=|\mathbf{r_2}|=-z_2$

F = \sqrt{X_{1}^{2} + y_{1}^{2}} - z_{2} - R = 0

$f = \sqrt{x_1^2+y_1^2}-z_2-R=0$

\nabla_{r_{1}} F = (\frac{\partial F}{\partial X_{1}}, \frac{\partial F}{\partial y_{1}}) = (\frac{X_{1}}{r_{1}}, \frac{y_{1}}{r_{1}})

$\nabla_{r_1}f = \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\frac{\partial{f}}{\partial{y_1}}\right)= \left(\frac{x_1}{r_1},\frac{y_1}{r_1}\right)$

\nabla_{r_{2}} F = \frac{\partial F}{\partial z_{2}} = - 1

$\nabla_{r_2}f = \frac{\partial{f}}{\partial{z_2}} = -1$ Y los desplazamientos virtuales

δ r_{1} = (δ x_{1}, δ y_{1}), δ r_{2} = δ z_{2}

$\delta\mathbf{r}_1=(\delta x_1,\delta y_1), \delta\mathbf{r}_2=\delta z_2$ debe satisfacer

(\frac{X_{1}}{r_{1}}, \frac{y_{1}}{r_{1}}) \cdot (d X_{1}, d y_{1}) + (- 1) d z_{2} = 0

$\left(\frac{x_1}{r_1},\frac{y_1}{r_1}\right)\cdot(\delta x_1,\delta y_1) + (-1)\delta z_2 = 0$ o, de vuelta a los vectores

\frac{r_{1} \cdot d r_{1}}{r_{1}} = d z_{2}

$\frac{\mathbf{r}_1\cdot\delta\mathbf{r}_1}{r_1} = \delta z_2$ Pero desde

r_{1} \cdot δ r_{1} = r_{1} δ r_{1} \cos (ϕ - ψ)

$\mathbf{r}_1\cdot\delta\mathbf{r}_1 = r_1 \delta r_1 \cos(\phi-\psi)$ , dónde

ϕ - ψ

$\phi-\psi$ es precisamente el ángulo entre los vectores

r_{1}, δ r_{1}

$\mathbf{r}_1,\delta\mathbf{r}_1$ considerado en la publicación, llegamos a la relación que necesitamos para mostrar que las fuerzas de restricción realizan un trabajo virtual cero, como se muestra en la publicación:

- δ r_{2} = δ r_{1} \cos (ϕ - ψ)

$-\delta r_2 = \delta r_1\cos(\phi-\psi)$ (hasta un giro de señal que hice en algún lugar, sin duda debido a la desafortunada elección del negativo

z

$z$ dirección).

¿Podría explicar cómo llegó a la restricción de los desplazamientos virtuales? ¿El que involucra el gradiente de la restricción?

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