¿Puedo encontrar una función potencial de la forma habitual si el campo central contiene ttt en su magnitud?

Question

¿Puedo encontrar una función potencial de la forma habitual si el campo central contiene ttt en su magnitud?

Nosyt

Estoy trabajando en un problema de mecánica clásica en el que el problema establece que una partícula de masa $m$ se mueve en un campo central de fuerza atractiva de magnitud:

F (r, t) = \frac{k}{r^{2}} {mi}^{- a t}

$F(r, t) = \frac{k}{r^2}e^{-at}$

$r$ es la distancia desde el centro de fuerza,
$t$ es hora,
y $k$ , $a$ son constantes.

estoy preocupado por el $t$ en el exponente. Ya hice más de la mitad de la pregunta (que implica encontrar ecuaciones lagrangianas/hamiltonianas) usando un potencial que ni siquiera estoy seguro de que sea correcto.

Lo calculé tomando la integral de $F(r, t)$ con respecto a $r$ . Es solo que hay un $t$ en la magnitud, así que sé que no debería poder hacer eso.

m0nhawk

¡Hola, @Nosyt, y bienvenido a Physics Stack Exchange ! Actualicé tu pregunta y agregué algo de LaTeX. Y si tiene dudas en sus cálculos, agréguelo. Sin esto, no se puede verificar su corrección.

Fabian

Una fuerza dependiente del tiempo no es necesariamente conservativa (generalmente no lo es), por lo que es posible que no exista potencial.

david z

Nosyt, para aclarar: ¿te dieron el potencial

U (x, t)

$U(x,t)$ , o te dieron la fuerza

F

$F$ ? o estas usando

U

$U$ para la fuerza (que es un uso bastante confuso)?

Nosyt

Esta es una copia y pega de la pregunta de un archivo de Word. Mi profesor comete errores a menudo :( 1. Una partícula de masa m se mueve en un campo central de fuerza de atracción de magnitud (la escrita arriba en látex), donde k y a son constantes, t es el tiempo y r es la distancia de m desde el centro de fuerza. (a) Encuentre las funciones de Lagrange y Hamilton, (b) Encuentre las ecuaciones de Lagrange y de Hamilton, (c) ¿Es H la energía total? Explique las razones y (d) ¿Es H constante de movimiento? Explique las razones .

Nosyt

Sí, el de látex es F NOT U. La persona que editó mi publicación usó U, ¡pero debería ser F! Definitivamente.

Fabian

@Nosyt: cámbielo de nuevo a lo más convencional

F

$F$ .

Respuestas (1)

¿Puedo encontrar una función potencial de la forma habitual si el campo central contiene ttt en su magnitud?

¡Hola, @Nosyt, y bienvenido a Physics Stack Exchange ! Actualicé tu pregunta y agregué algo de LaTeX. Y si tiene dudas en sus cálculos, agréguelo. Sin esto, no se puede verificar su corrección.
Una fuerza dependiente del tiempo no es necesariamente conservativa (generalmente no lo es), por lo que es posible que no exista potencial.
Nosyt, para aclarar: ¿te dieron el potencial $U(x,t)$ , o te dieron la fuerza $F$ ? o estas usando $U$ para la fuerza (que es un uso bastante confuso)?
Esta es una copia y pega de la pregunta de un archivo de Word. Mi profesor comete errores a menudo :( 1. Una partícula de masa m se mueve en un campo central de fuerza de atracción de magnitud (la escrita arriba en látex), donde k y a son constantes, t es el tiempo y r es la distancia de m desde el centro de fuerza. (a) Encuentre las funciones de Lagrange y Hamilton, (b) Encuentre las ecuaciones de Lagrange y de Hamilton, (c) ¿Es H la energía total? Explique las razones y (d) ¿Es H constante de movimiento? Explique las razones .
Sí, el de látex es F NOT U. La persona que editó mi publicación usó U, ¡pero debería ser F! Definitivamente.

Fabian · Answer 1

No hay energía potencial asociada con su sistema ya que la fuerza depende del tiempo. Sin embargo, por tu comentario entiendo que quieres saber el

Lagrangiano
hamiltoniano
energía total

Una partícula que se mueve bajo la acción de la fuerza dependiente del tiempo sigue la ecuación de movimiento de Newton

metro \ddot{r} = F (r, t) + metro r ω^{2}

$m \ddot r = F(r,t) + m r \omega^2$ con

F (r, t) = \frac{k}{r^{2}} {mi}^{- a t}

$F(r,t)=\frac{k}{r^2}e^{-at}$ y

ω

$\omega$ la velocidad angular

Esta ecuación se puede ver como la ecuación de Euler-Lagrange del Lagrangiano

L = \frac{metro {\dot{r}}^{2}}{2} - \frac{{yo}^{2}}{2 metro r^{2}} - \frac{k}{r} {mi}^{- a t}

$L= \frac{m \dot r^2}{2} - \frac{l^2}{2 m r^2} - \frac{k}{r} e^{-a t}$ con

l = m r^{2} ω

$l= m r^2 \omega$ el momento angular (alrededor del eje fijo de rotación) que se conserva.

Luego, el hamiltoniano se obtiene a través de una transformada de Legendre.

H = pag \dot{r} - L = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + \frac{{yo}^{2}}{2 metro r^{2}} + \frac{k}{r} {mi}^{- a t}

$H = p \dot r -L= \frac{p^2}{2m} + \frac{l^2}{2 m r^2} + \frac{k}{r} e^{-a t}$ con

p = \partial L / \partial_{\dot{r}} = m \dot{r} .

$p= \partial L/\partial_{\dot r} = m \dot r .$

El hamiltoniano es también la energía total del sistema (que no se conserva).

Comentario a la respuesta (v1): se debe enfatizar que es el momento angular, no la velocidad angular, lo que es una constante de movimiento.
@Qmechanic: gracias por el comentario. Edité la respuesta e hice explícito este hecho.

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Nosyt

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Nosyt

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Fabian

qmecanico

Fabian

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