Independencia de coordenadas y momentos generalizados en la mecánica hamiltoniana [duplicado]

Como se señaló en los comentarios, la transformación de la$(q_{i},\dot{q}_{i})$coordenadas a la$(q_{i},p_{i})$coordenadas es un ejemplo de una transformación de Legendre. Informalmente hablando, esto le permite usar diferentes coordenadas para describir el sistema, mientras mantiene toda la información sobre el sistema.

De acuerdo con la formulación general de una transformada de Legendre, usamos la ecuación

$p_{i} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \hspace{1em} (1)$

para definir implícitamente$\dot{q}_{i}$en términos de$p_{i}$y$q_{i}$. Para ver cómo funciona esto en una configuración más simple, podemos definir una variable$y$como

$y = 2x +1$.

En este sentido, podemos ver$y$como una función de$x$. Sin embargo, también podemos invertir esta relación para resolver$x$en términos de$y$, lo que da

$x = \dfrac{1}{2}(y-1)$,

así que aquí vemos$x$como una función de$y$. El punto es que tenemos una variable independiente y una variable dependiente, pero somos libres de elegir cuál es cuál. En la mecánica clásica, la imagen se complica un poco por el hecho de que ahora tenemos 2 variables independientes, pero el principio sigue siendo el mismo: la ecuación (1) puede verse expresando$p_{i}$en términos de$q_{i}$y$\dot{q}_{i}$, o como expresión$\dot{q}_{i}$en términos de$p_{i}$y$q_{i}$, y somos libres de elegir la interpretación que se adapte a nuestros propósitos.