¿Hay alguna manera agradable de expresar el cociente del producto directo de una familia de grupos con la suma directa correspondiente?

Question

¿Hay alguna manera agradable de expresar el cociente del producto directo de una familia de grupos con la suma directa correspondiente?

suma directa
Matemáticas
teoría de grupos
producto directo
álgebra abstracta

diego parodi

Dejar $I$ ser un conjunto arbitrario (finito o infinito) de índices y $\{G_i\}_{i\in I}$ una familia de grupos indexados por $I$ .

El producto directo de la familia, denotado por $\prod_{i\in I}G_i$ , es el conjunto de todas las sucesiones $\{g_i\}_{i\in I}$ , donde cada $g_i$ es un elemento de $G_i$ , con la operación de grupo definida por elementos. La suma directa de la familia, denotada por $\bigoplus_{i\in I} G_i$ , es el conjunto de todas las sucesiones $\{g_i\}_{i\in I}$ en el producto directo, tal que el conjunto $\{i\in I|g_i\neq e_i\}$ es finito, donde $e_i$ denota el elemento de identidad de $G_i$ .

Es fácil comprobar que $\oplus G_i$ es un subgrupo normal de $\Pi G_i$ .

Mi pregunta es: ¿hay una buena manera de expresar el cociente $\frac{\Pi G_i}{\oplus G_i}$ ?

Más precisamente, ¿es isomorfo a algún otro grupo que pueda describirse más fácilmente?

Lo único que encontré hasta ahora es que dos secuencias en el producto directo están en la misma clase de equivalencia si y solo si difieren en un número finito de elementos.

monstruoso

Tenga en cuenta que en caso de que cada

G_{i}

$G_i$ es un espacio vectorial (sobre el mismo campo fijo) y

I

$I$ es relativamente grande (en comparación con las dimensiones de

G_{i}

$G_i$ ) entonces

\prod G_{i} / ⨁ G_{i} ≃ \prod G_{i}

$\prod G_i \big/ \bigoplus G_i\simeq \prod G_i$ por el argumento de la dimensión.

Puñal

Si

I

$I$ es finito, entonces los dos grupos son iguales. Si

I

$I$ es infinito pero contable, estás viendo el conjunto de todas las secuencias módulo el conjunto de secuencias con soporte finito, tal vez algún libro de texto sobre secuencias contenga ideas útiles. También podría ayudar mirar los espacios vectoriales y especialmente las bases de espacios infinitamente dimensionales, aquí tienes problemas bastante similares.

Arturo Magidín

dos elementos de

\prod G_{i}

$\prod G_i$ son iguales en el cociente si y sólo si son "iguales en casi todas partes"; es decir, son iguales fuera de un subconjunto finito del

G_{i}

$G_i$ . Entonces obtienes elementos del producto, pero no puedes distinguir dos de ellos a menos que sean distintos entre sí en un número infinito de lugares.

Respuestas (2)

¿Hay alguna manera agradable de expresar el cociente del producto directo de una familia de grupos con la suma directa correspondiente?

Tenga en cuenta que en caso de que cada $G_i$ es un espacio vectorial (sobre el mismo campo fijo) y $I$ es relativamente grande (en comparación con las dimensiones de $G_i$ ) entonces $\prod G_i \big/ \bigoplus G_i\simeq \prod G_i$ por el argumento de la dimensión.
Si $I$ es finito, entonces los dos grupos son iguales. Si $I$ es infinito pero contable, estás viendo el conjunto de todas las secuencias módulo el conjunto de secuencias con soporte finito, tal vez algún libro de texto sobre secuencias contenga ideas útiles. También podría ayudar mirar los espacios vectoriales y especialmente las bases de espacios infinitamente dimensionales, aquí tienes problemas bastante similares.
dos elementos de $\prod G_i$ son iguales en el cociente si y sólo si son "iguales en casi todas partes"; es decir, son iguales fuera de un subconjunto finito del $G_i$ . Entonces obtienes elementos del producto, pero no puedes distinguir dos de ellos a menos que sean distintos entre sí en un número infinito de lugares.

andreas blass · Answer 1

Incluso en el caso de que $I$ es contablemente infinito y cada $G_i$ es el grupo aditivo de los enteros, este cociente es bastante complicado. Si no recuerdo mal, es el producto de (1) un espacio vectorial racional de dimensión $2^{\aleph_0}$ (considerado como un grupo aditivo) y (2) $\aleph_0$ copias del grupo aditivo de $p$ enteros -ádicos para todos los números primos $p$ . Este es el resultado de Balcerzyk; aquí está la referencia de MathSciNet:

MR0108529 (21 #7245) Balcerzyk, S. Sobre grupos de factores de algunos subgrupos de una suma directa completa de infinitos grupos cíclicos. (Resumen en ruso) Bull. Academia Polon. ciencia Sér. ciencia Matemáticas. Astr. física 7 1959 141–142. (inserto sin encuadernar).

YCor · Answer 2

En https://arxiv.org/abs/1901.05065 , §3.D.4, llamo a esto producto cercano $\prod^\star G_i$ , y dar algunas referencias.

"¿ Es isomorfo a algún otro grupo que se pueda describir más fácilmente? ": No lo creo.

Los productos cercanos se pueden usar para definir la noción de producto de corona cercana, que naturalmente parece describir centralizadores en grupos como el cociente del grupo simétrico (en un conjunto infinito) por su subgrupo de permutaciones finitamente admitidas.

Independientemente, un grupo contable es LEF si se incrusta en un producto cercano (contable) de grupos finitos.

¿Hay alguna manera agradable de expresar el cociente del producto directo de una familia de grupos con la suma directa correspondiente?

diego parodi

monstruoso

Puñal

Arturo Magidín

Respuestas (2)

andreas blass

YCor

¿Hay otro nombre para el Lema de Goursat sobre subgrupos de un producto directo de grupos?

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