El grupo es isomorfo al producto directo de sus subgrupos

Definición. El producto cartesiano de dos grupos.$G=G_1\times G_2$es un grupo bajo la operación$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$junto con estos dos mapas:

$$\begin{equation} p_1\colon G\to G_1;~(x_1,x_2)p_1=x_1\\ p_2\colon G\to G_2;~(x_1,x_2)p_2=x_2 \end{equation}$$

(Teorema.$p_1$y$p_2$son homomorfismos de grupo, y$\forall x_1\in G_1,\forall x_2\in G_2,\exists|x\in G$tal que$xp_1=x_1$y$xp_2=x_2$. Además deja

$$\begin{equation} i_1\colon G_1\to G;~x_1i_1=(x_1,e_{G_2})\\ i_2\colon G_2\to G;~x_2i_2=(e_{G_1},x_2) \end{equation}$$ resulta que $$i_np_m=\begin{cases}I_{G_n}&\text{ if }n=m\\ O_{G_nG_m}&\text{ if }n\ne m \end{cases}$$ dónde $n,m\in\{1,2\}$y $O_{XY}\colon X\to Y;~x\mapsto e_Y$con $Y$grupo. )

Definición. Un producto directo de dos grupos generalmente escrito de nuevo como$G_1\times G_2$pero que escribiremos como$A=(\{G_1, G_2\}, \{q_1,q_2\})$es un grupo bajo la operación$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$junto con estos dos homomorfismos:

$$\begin{equation} q_1\colon A\to G_1\\ q_2\colon A\to G_2 \end{equation}$$ para cual $\exists$homomorfismos $j_k\colon G_k\to G$dónde $k=1,2$tal que $$j_nq_m=\begin{cases}I_{G_n}&\text{ if }n=m\\ O_{G_nG_m}&\text{ if }n\ne m \end{cases}$$ dónde $n,m\in\{1,2\}$

Definición. Un isomorfismo de grupo de producto directo es un isomorfismo de grupo$T:A\to B$, dónde$A=(\{G_1,G_2\},\{q_1,q_2\})$y$B=(\{G_1,G_2\},\{r_1,r_2\})$productos directos de dos grupos$G_1$y$G_2$, tal que

$$\begin{equation} r_m=Tq_m \end{equation}$$ dónde $m=1,2$

(Teorema. El producto cartesiano es un producto directo, es decir,$G_1\times G_2=(\{G_1, G_2\}, \{p_1, p_2\})$, dónde$p_1$y$p_2$se han definido en la primera de nuestras definiciones anteriores. Además cualquier producto directo$A$de dos grupos$G_1$y$G_2$es el grupo de productos directos isomorfo al grupo de productos cartesianos$G_1\times G_2$)

Dicho todo esto, lo que llamas 'prueba' no es la prueba del recíproco del teorema principal, sino un lema, probablemente difícil de leer porque la letra$G$ha sido reutilizado con un significado diferente al utilizado en el teorema principal. Así que primero reescribámoslo evitando tal problema:

Lema. El producto cartesiano$G_1 \times G_2$es tal que$G_1 \times G_2 = H_1H_2$con$H_1 = G_1 \times \{e_{G_2}\}$y$H_2 = \{e_{G_1}\} \times G_2$. Los grupos$H_1,H_2$son normales en$G_1 \times G_2$y$H_1 \cap H_2 = \{e\} \quad \triangle$

Ahora por el teorema principal y este lema se sigue:

Corolario. El producto cartesiano de dos grupos.$G_1\times G_2$es isomorfo a un producto directo de$H_1$y$H_2$dónde$H_1 = G_1 \times \{e_{G_2}\}$y$H_2 = \{e_{G_1}\} \times G_2$, y en particular$G_1\times G_2\cong H_1\times H_2$, eso es$H_1\times H_2=(\{G_1,G_2\},\{q_1, q_2\})$dónde

$$\begin{equation} q_1\colon H_1\times H_2\to G_1;~(x_1,0,0,x_2)\mapsto x_1\\ q_2\colon H_1\times H_2\to G_2;~(x_1,0,0,x_2)\mapsto x_2 \end{equation}$$ y $\exists$un isomorfismo $T\colon H_1\times H_2\to G_1\times G_2$tal que $q_n=Tp_n$, dónde $n=1,2$, en efecto $$T\colon (x_1,0,0,x_2)\mapsto(x_1,x_2)$$

Además:

1. ser$H_1\lhd G_1\times G_2$resulta que$G_1=H_1T^{-1} \lhd (G_1\times G_2)T^{-1}=H_1\times H_2$
2. ser$H_1H_2=G_1\times G_2$resulta que$G_1G_2=(H_1T^{-1})(H_2T^{-1})=(H_1H_2)T^{-1}=(G_1\times G_2)T^{-1}=H_1\times H_2$
3. ser$H_1\cap H_2=\{e\}$, resulta que$G_1\cap G_2=H_1T^{-1}\cap H_2T^{-1}=(H_1\cap H_2)T^{-1}=\{e\}T^{-1}=\{e\}$

Demostración del recíproco del teorema principal. Dejar$G$ser un producto directo de dos subgrupos de su,$G=(\{G_1, G_2\}, \{r_1, r_2\})$. Entonces$G$es el grupo de productos directos isomorfo al producto cartesiano de esos subgrupos$G\cong G_1\times G_2$. Pero entonces, por el corolario, también es$G\cong H_1\times H_2$. Eso significa que$\exists U\colon G\to H_1\times H_2$isomorfismo de grupo de producto directo tal que$r_n=Uq_n$, dónde$n=1,2$. Por el corolario$H_1\times H_2$tiene dos subgrupos que satisfacen las condiciones del teorema principal, pero luego gracias a$U$,$G$tienen dos subgrupos que también satisfacen esas condiciones.